Question

設(shè)x、y滿足約束條件

3x-y-2≤0 x-y≥0 x≥0，y≥0

，若目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，當

1

a

+

1

b

的最小值為m時，則y=sin（mx+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

后的表達式為（　�。�

• A、y=sinx
• B、y=sin2x
• C、y=sin（x+

  π

  6

  ）
• D、y=sin（2x+

  π

  6

  ）

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用,函數(shù)與方程的綜合運用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，確定z取最大值點的最優(yōu)解，利用基本不等式的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出不等式組

3x-y-2≤0 x-y≥0 x≥0，y≥0

對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
則直線的斜率k=-

a

b

＜0，截距最大時，z也最大．
平移直y=-

a

b

x+

z

b

，由圖象可知當直線y=-

a

b

x+

z

b

，經(jīng)過點A時，
直線y=-

a

b

x+

z

b

，的截距最大，此時z最大，
由

3x-y-2=0 x-y=0

，解得

x=1 y=1

，
即A（1，1），
此時z=a+b=2，
即

1

2

(a+b)=1，
∴

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）（

a+b

2

）=1+

1

2

(

b

a

+

a

b

)≥2，
當且僅當

a

b

=

b

a

，即a=b=1時取等號，此時m=2，
y=sin（mx+

π

3

）=sin（2x+

π

3

）的圖象向右平移

π

6

后的表達式為：y=sin[2（x-

π

6

）+

π

3

]=sin2x．
故選：B．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義先求出最優(yōu)解是解決本題的關(guān)鍵，利用基本不等式的解法和結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的突破點．同時考查三角函數(shù)的圖象的平移變換．