Question

已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且在公共定義域{x|x∈R且x≠±1}上滿足f（x）+g（x）=

1

x-1

（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），求h（

1

x

）；
（3）求值：h（2）+h（3）+h（4）+…+h（2014）+h（

1

2

）+h（

1

3

）+h（

1

4

）+…+h（

1

2014

）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，f（x）+g（x）=

1

x-1

，f（-x）+g（-x）=

1

-x-1

，即-f（x）+g（x）=

1

-x-1

，聯(lián)立方程解得；
（2）代入化簡h（x），再求h（

1

x

）；
（3）由題意，h（x）+h（

1

x

）=

1

x+1

+

x

1+x

=1，兩兩配對即可．

解答： 解：（1）由題意，f（x）+g（x）=

1

x-1

，①
f（-x）+g（-x）=

1

-x-1

，
即-f（x）+g（x）=

1

-x-1

，②
由①②聯(lián)立解得，
f(x)=

x

x2-1

，g(x)=

1

x2-1

；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=

x-1

x2-1

=

1

x+1

，
則h(

1

x

)=

x

x+1

；
（3）∵h(yuǎn)（x）+h（

1

x

）=

1

x+1

+

x

1+x

=1，
h（2）+h（3）+h（4）+…+h（2014）+h（

1

2

）+h（

1

3

）+h（

1

4

）+…+h（

1

2014

）
=h（2）+h（

1

2

）+h（3）+h（

1

3

）+…+h（2014）+h（

1

2014

）
=2013×1=2013．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的定義及函數(shù)的解析式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．