Question

已知：函數(shù)f（x）=

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（sinx+|sinx|），x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的周期T，與單調(diào)增區(qū)間．
（2）函數(shù)y=f（x）與y=lgx的圖象有幾個公共交點(diǎn)．
（3）設(shè)關(guān)于x的函數(shù)g（x）=-2sin²x-2acosx-2a+1的最小值為h（a），試確定滿足h（a）=

1

2

的a的值，并對此時(shí)的a值求g（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡可得f（x）=

sinx，2kπ≤x≤2kπ+π 0，2kπ＜x＜2kπ+2π

，k∈Z，結(jié)合圖象可得周期和單調(diào)區(qū)間；
（2）作函數(shù)y=f（x）與y=lgx的圖象，數(shù)形結(jié)合可得；
（3）變形可得g（x）=2cos²x-2acosx-（2a+1），令cosx=t，可得t∈[-1，1]，換元可得y=2t²-2at-（2a+1），由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答： 解：（1）f（x）=

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（sinx+|sinx|）
=

sinx，sinx≥0 0，sinx＜0

=

sinx，2kπ≤x≤2kπ+π 0，2kπ＜x＜2kπ+2π

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的周期T=2π
函數(shù)f（x）的增區(qū)間：[2kπ，2kπ+

π

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]；
（2）作函數(shù)y=f（x）與y=lgx的圖象，從圖象可以看出函數(shù)y=f（x）與y=lgx的圖象有三個交點(diǎn)；

（3）g（x）=-2sin²x-2acosx-2a+1=2cos²x-2acosx-（2a+1），
令cosx=t，可得t∈[-1，1]，
換元可得y=2t²-2at-（2a+1），可看作關(guān)于t的二次函數(shù)，
圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為t=

a

2

，
當(dāng)

a

2

＜-1，即a＜-2時(shí)，[-1，1]是函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間，gmin=1≠

1

2

；
當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，[-1，1]是函數(shù)y的遞減區(qū)間，gmin=-4a+1=

1

2

，得a=

1

8

，與a＞2矛盾；
當(dāng)-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2時(shí)，gmin=-

a2

2

-2a-1=

1

2

，變形可得a²+4a+3=0，
解得a=-1或a=-3（舍去）
綜上可得滿足h（a）=

1

2

的a的值為-1，
此時(shí)g（x）的最小值為

1

2

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)恒等變形，涉及數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想，屬中檔題．