Question

某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)．
sin²45°+cos²70°+sin45°cos75°
sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°
sin²36°+cos²66°+sin36°cos66°
sin²（-15°）+cos²15°+sin²（-15°）cos15°
sin²（-45°）+cos²（-15°）+sin（-45°）cos（-15°）
（1）試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)恒等式的證明,歸納推理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）選擇sin²（-15°）+cos²15°+sin（-15°）cos15°計(jì)算可得常數(shù)；（2）由式子的規(guī)律推廣為sin²α+cos²（

π

6

+α）+sinαcos（

π

6

+α）=

3

4

，由三角函數(shù)的公式證明即可．

解答： 解：（1）∵五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)，
∴選擇sin²（-15°）+cos²15°+sin（-15°）cos15°計(jì)算
可得常數(shù)=sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
=1-

1

2

sin30°=1-

1

4

=

3

4

．
（2）由式子的規(guī)律推廣為sin²α+cos²（

π

6

+α）+sinαcos（

π

6

+α）=

3

4

．
下面證明：式子左邊=sin²α+（

3

2

cosα-

1

2

sinα）²+sinα（

3

2

cosα-

1

2

sinα）
=sin²α+

1

4

sin²α+

3

4

cos²α-

3

2

sinαcosα+

3

2

sinαcosα-

1

2

sin²α
=

3

4

sin²α+

3

4

cos²α=

3

4

（sin²α+cos²α）=

3

4

=右邊
原命題得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)恒等式的證明，涉及歸納推理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．