【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓,如圖所示,斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,射線交橢圓于點(diǎn),交直線于點(diǎn).

(1)求的最小值;

(2)若,求證:直線過(guò)定點(diǎn).

【答案】(1).(2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析:(1)設(shè),聯(lián)立直線和橢圓方程,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,利用韋達(dá)定理,求出點(diǎn)的坐標(biāo)和所在直線方程,求點(diǎn) 的坐標(biāo),利用基本不等式即可求得 的最小值;
(2)由(1)知所在直線方程,和橢圓方程聯(lián)立,求得點(diǎn)的坐標(biāo),并代入 ,得到 ,因此得證直線過(guò)定點(diǎn);

試題解析:(1)設(shè)直線 的方程為,由題意, ,

由方程組,得

由題意,所以,

設(shè),

由根與系數(shù)的關(guān)系得,所以,

由于為線段的中點(diǎn),因此

此時(shí),所以所在直線的方程為,

又由題意知,令,得,即,

所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立,

此時(shí)由,因此當(dāng)時(shí), 取最小值.

(2)證明:由(1)知所在直線的方程為,

將其代入橢圓的方程,并由,解得,

,

由距離公式及

,

,

,得,

因此直線的方程為,所以直線恒過(guò)定點(diǎn).

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A.
B.
C.
D.

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(2)設(shè) ,求數(shù)列的前項(xiàng)和

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A.
B.
C.
D.

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