【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在點處的切線與直線垂直,求實數(shù)的值;
(Ⅱ)若函數(shù)在其定義域上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)當時,函數(shù)的兩個極值點為,且,若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) ;(Ⅲ) .
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),計算的值,求出的值即可;(Ⅱ)求得導數(shù),由題意可得在恒成立,即有的最小值,運用基本不等式可得最小值,即可得到的范圍;(Ⅲ)函數(shù)在上有兩個極值點,方程有兩個不等的正根,求得兩根,求得范圍;不等式恒成立即為,而,設(shè),求出導數(shù),判斷單調(diào)性,即可得到的最小值,即可求得的范圍.
試題解析:(Ⅰ) ,所以,依題意知, ,所以.
(Ⅱ)函數(shù)的定義域是,若函數(shù)在其定義域上是增函數(shù),則在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,因為,當且僅當時等號成立,所以,因此實數(shù)的取值范圍是.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知, ,因為的兩個極值點為,且,所以是方程的兩個根,所以, ,不等式恒成立,即恒成立,而 ,由.所以,解得或,因為, ,所以舍去,所以.令, , ,所以函數(shù)在上是減函數(shù),所以,故.
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【題目】已知函數(shù)(),()
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求證:1是的唯一極小值點;
(Ⅲ)若存在, ,滿足,求的取值范圍.(只需寫出結(jié)論)
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=8 cm,AB=10 cm,點P由C出發(fā)以每秒2 cm的速度沿線段CA向點A運動(不運動至A點),⊙O的圓心在BP上,且⊙O分別與AB、AC相切,當點P運動2 s時,⊙O的半徑是( )
A. cm B. cm C. cm D. 2 cm
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【題目】某工廠甲、乙兩個車間包裝同一種產(chǎn)品,在自動包裝傳送帶上每隔1小時抽一包產(chǎn)品,稱其重量(單位:克)是否合格,分別做記錄,抽查數(shù)據(jù)如下:
甲車間:102,101,99,98,103,98,99;
乙車間:110,115,90,85,75,115,110.
(1)問:這種抽樣是何種抽樣方法;
(2)估計甲、乙兩車間包裝產(chǎn)品的質(zhì)量的均值與方差,并說明哪個均值的代表性好,哪個車間包裝產(chǎn)品的質(zhì)量較穩(wěn)定.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓,如圖所示,斜率為且不過原點的直線交橢圓于兩點,線段的中點為,射線交橢圓于點,交直線于點.
(1)求的最小值;
(2)若,求證:直線過定點.
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【題目】已知函數(shù).
(1)判斷的單調(diào)性;
(2)求函數(shù)的零點的個數(shù);
(3)令,若函數(shù)在(0,)內(nèi)有極值,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響,在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示),由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計算各小長方形的寬度;
(2)估計該公司投入4萬元廣告費之后,對應銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值)
(3)該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:
廣告投入x(單位:萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益y(單位:萬元) | 2 | 3 | 2 | 7 |
表格中的數(shù)據(jù)顯示,x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系,請將(2)的結(jié)果填入空白欄,并計算y關(guān)于x的回歸方程.
回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為 , .
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【題目】已知函數(shù), .
(1)設(shè).
①若函數(shù)在處的切線過點,求的值;
②當時,若函數(shù)在上沒有零點,求的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù),且(),求證:當時, .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=3x+x,g(x)=x3+x,h(x)=log3x+x的零點依次為a,b,c,則( )
A.c<b<a
B.a<b<c
C.c<a<b
D.b<a<c
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