【題目】(1)已知a,b,N都是正數(shù),a≠1,b≠1,證明對數(shù)換底公式:logaN=;
(2)寫出對數(shù)換底公式的一個性質(zhì)(不用證明),并舉例應(yīng)用這個性質(zhì).
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)設(shè)且,化為指數(shù)式,兩邊取對數(shù)可得,化簡代入即可得出結(jié)果;(2)或.
(1)設(shè)logaN=x,則N=ax.
兩邊同時取b為底對數(shù),得logbN=logbax.
由對數(shù)運(yùn)算性質(zhì),得logbN=xlogba.
因為a≠1,所以logba≠0,所以x=,于是logaN=.
或者:因為alogaN=N,兩邊同時取b為底對數(shù),得logbalogaN=logbN.
由對數(shù)運(yùn)算性質(zhì),得logaNlogba=logbN.
因為a≠1,所以logba≠0,所以logaN=.
(2)對數(shù)換底公式性質(zhì)(i):logaNlogba=logbN.
例如log23log38=log28=3.
對數(shù)換底公式性質(zhì)(ii):logablogba=1.
例如+=log102+log105=log1010=1.
對數(shù)換底公式性質(zhì)(iii):logNn=logaN.
例如log2781=log34=log33=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
Ⅰ當(dāng)時,求函數(shù)的最小值;
Ⅱ若對任意,恒有成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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【題目】將函數(shù)y=sin2x-cos2x的圖象向左平移m(m>0)個單位以后得到的圖象與函數(shù)y=ksinxcosx(k>0)的圖象關(guān)于(,0)對稱,則k+m的最小正值是
A. 2+ B. 2+ C. 2+ D. 2+
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在區(qū)間,上同時存在函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)如果對任意、,有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f (x)=lnx-x+1.
(1)求f (x)的極值;
(2)若0<a<1,證明:函數(shù)g (x)=(x-a)ex-ax2+a(a-1) x(x>lna)有極小值點(diǎn)x0,且g (x0)<0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圓錐的頂點(diǎn)為P,母線長為4,底面圓心為O,半徑為2.
(1)求這個圓錐的體積;
(2)設(shè)OA,OB是底面半徑,且∠AOB=90°,M為線段AB的中點(diǎn),求異面直線PM與OB所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定直線,定點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點(diǎn)且與相切.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)橢圓的弦的中點(diǎn)分別為,若平行于,則斜率之和是否為定值? 若是定值,請求出該定值;若不是定值請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)有關(guān)于的一元二次方程.
(Ⅰ)若是從四個數(shù)中任取的一個數(shù),是從三個數(shù)中任取的一個數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.
(Ⅱ)若是從區(qū)間任取的一個數(shù),是從區(qū)間任取的一個數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況,在一般情況下,大橋上的車流速度(單位:千米/小時)是車流密度(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為;當(dāng)車流密度不超過輛/千米時,車流速度為千米/小時,研究表明:當(dāng)時,車流速度是車流密度的一次函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)車流密度為多大時,車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/小時)可以達(dá)到最大,并求出最大值.
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