Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，

xf′(x)-f(x)

x2

＞0（x＞0），則不等式xf（x）＞0的解集是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，然后，得到該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后，結(jié)合該函數(shù)的取值情形，進(jìn)行求解．

解答： 解：∵

xf′(x)-f(x)

x2

＞0（x＞0），
設(shè)函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，
∴g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
∵g（-x）=

f(-x)

-x

=

-f(x)

-x

=g（x），
∴g（x）為偶函數(shù)，
∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），
∵f（1）=0，
∴g（1）=0．g（-1）=0，
∴當(dāng)x＜-1時(shí)，g（x）＞0，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）＜0，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＜0，
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0，
∵不等式xf（x）＞0的解集等價(jià)于g（x）＞0，
∴當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，g（x）＞0，
不等式xf（x）＞0的解集{x|x＜-1或x＞1}．
故答案為：{x|x＜-1或x＞1}．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．