Question

已知函數(shù)f（x）=ax+1-lnx，其中a∈R是常數(shù)．
（1）若曲線y=[f（x）]²在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值；
（3）試討論直線y=-x+e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與曲線y=f（x）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，即可求a的值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極值；
（3）記g（x）=f（x）-（-x+e）=（a+1）x+（1-e）-lnx，則直線y=-x+e與曲線y=f（x）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
即函數(shù)g（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．分類討論，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）y/=2f(x)•f/(x)=2(ax+1-lnx)(a-

1

x

)…（1分）
依題意，y′|_x=1=2（a+1）（a-1）=0…（2分），解得a=±1…（3分）
（2）f/(x)=a-

1

x

，x＞0．
a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，無極值…（4分）
a＞0時(shí)，由f′（x）=0得x=

1

a

…（5分）
當(dāng)0＜x＜

1

a

時(shí)f′（x）＜0，當(dāng)x＞

1

a

時(shí)f′（x）＞0…（6分），
所以f（x）在x=

1

a

處取得極小值，極小值為f(

1

a

)=2+lna…（7分）
（3）記g（x）=f（x）-（-x+e）=（a+1）x+（1-e）-lnx，則直線y=-x+e與曲線y=f（x）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
即函數(shù)g（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．g/(x)=(a+1)-

1

x

a≤-1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，且值域?yàn)镽，有一個(gè)零點(diǎn)…（8分）
a＞-1時(shí)，由g′（x）=0得x=

1

a+1

…（9分）
當(dāng)0＜x＜

1

a+1

時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞

1

a+1

時(shí)g′（x）＞0…（10分），
所以f（x）在x=

1

a+1

處取得極小值，極小值為g(

1

a+1

)=(2-e)+ln(a+1)…（11分）
當(dāng)g(

1

a+1

)=(2-e)+ln(a+1)＞0，即a＞e^e-2-1時(shí)，g（x）無零點(diǎn)…（12分）
當(dāng)g(

1

a+1

)=(2-e)+ln(a+1)=0，即a=e^e-2-1時(shí)，g（x）有一個(gè)零點(diǎn)…（13分）
當(dāng)g(

1

a+1

)=(2-e)+ln(a+1)＜0，即-1＜a＜e^e-2-1時(shí)，g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，a≤-1或a=e^e-2-1時(shí)，直線y=-x+e與曲線y=f（x）有一個(gè)公共點(diǎn)；-1＜a＜e^e-2-1時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；a＞e^e-2-1時(shí)，無公共點(diǎn)…（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．