Question

【題目】已知中，，，，，分別是，的中點(diǎn)，將沿翻折，得到如圖所示的四棱錐，且，設(shè)為的中點(diǎn)．

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，，得到四邊形是平行四邊形，得出，，從而，，證得平面，平面，進(jìn)而利用線面垂直的判定定理，證得平面，即可得到．

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得向量和平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）取的中點(diǎn)，連接，，可得，且，

所以四邊形是平行四邊形，所以，

因?yàn)?/span>，分別是，的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)?/span>，所以，，

又因?yàn)?/span>，且，平面，

所以平面，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以，

因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，故，

所以，又，，所以．

又因?yàn)?/span>，又，平面，所以平面，

又由平面，所以．

（2）由（1）知：平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，可得，

在中，，，，

可得，所以，，

所以點(diǎn)到軸的距離為1，

可得，，，，

則，，，

設(shè)平面的法向量為，

所以，解得，令，可得，

設(shè)直線與平面所成的角為．

則，

即直線與平面所成的角的正弦值為．