【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥，，，平面平面，，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直性質(zhì)即可判定；

（2）取中點(diǎn)O，連接，，可證明，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面和平面的法向量，即可由空間向量法求得二面角的余弦值.

（1）證明：在四棱錐中，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

又因?yàn)?/span>，平面，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以.

（2）取中點(diǎn)O，連接，，

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

因?yàn)?/span>平面，所以平面，所以，.

因?yàn)?/span>，，，所以，，

所以四邊形是平行四邊形，所以.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，.

，.

設(shè)平面的法向量為，則

即令，則，，所以.

因?yàn)槠矫?/span>的法向量，

所以

由圖可知二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】手機(jī)運(yùn)動(dòng)計(jì)步已成為一種時(shí)尚，某中學(xué)統(tǒng)計(jì)了該校教職工一天行走步數(shù)（單位：百步），繪制出如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求直方圖中的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該校教職工一天步行數(shù)的中位數(shù)；

（Ⅱ）若該校有教職工175人，試估計(jì)一天行走步數(shù)不大于130百步的人數(shù)；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下該校從行走步數(shù)大于150百步的3組教職工中用分層抽樣的方法選取6人參加遠(yuǎn)足活動(dòng)，再從6人中選取2人擔(dān)任領(lǐng)隊(duì)，求這兩人均來自區(qū)間的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“未來肯定是非接觸的，無感支付的方式將成為主流，這有助于降低交互門檻”.云從科技聯(lián)合創(chuàng)始人姚志強(qiáng)告訴南方日報(bào)記者.相對于主流支付方式二維碼支付，刷臉支付更加便利，以前出門一部手機(jī)解決所有，而現(xiàn)在連手機(jī)都不需要了，畢竟，手機(jī)支付還需要攜帶手機(jī)，打開二維碼也需要時(shí)間和手機(jī)信號(hào).刷臉支付將會(huì)替代手機(jī)，成為新的支付方式.某地從大型超市門口隨機(jī)抽取50名顧客進(jìn)行了調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：

男性

女性

總計(jì)

刷臉支付

18

25

非刷臉支付

13

總計(jì)

50

（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為使用刷臉支付與性別有關(guān)？

（2）從參加調(diào)查且使用刷臉支付的顧客中隨機(jī)抽取2人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)則如下：

“一等獎(jiǎng)”中獎(jiǎng)概率為0.25，獎(jiǎng)品為10元購物券張（，且），“二等獎(jiǎng)”中獎(jiǎng)概率0.25，獎(jiǎng)品為10元購物券兩張，“三等獎(jiǎng)”中獎(jiǎng)概率0.5，獎(jiǎng)品為10元購物券一張，每位顧客是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，記參與抽獎(jiǎng)的兩位顧客中獎(jiǎng)購物券金額總和為元，若要使的均值不低于50元，求的最小值.

附：，其中.

0.10

0.05

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.869

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，例如求1到2000這2000個(gè)整數(shù)中，能被3除余1且被7除余1的數(shù)的個(gè)數(shù)，現(xiàn)由程序框圖，其中MOD函數(shù)是一個(gè)求余函數(shù)，記表示m除以n的余數(shù)，例如，則輸出i為（ ）.

A.98B.97C.96D.95

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的最大值為，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則下列判斷正確的是( )

A.要得到函數(shù)的圖象，只需將向右平移個(gè)單位

B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱

C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為

D.函數(shù)在上單調(diào)遞增

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)直線過的下頂點(diǎn)時(shí)，的斜率為，當(dāng)直線垂直于的長軸時(shí)，的面積為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

（Ⅲ）若直線上存在點(diǎn)滿足成等比數(shù)列，且點(diǎn)在橢圓外，證明：點(diǎn)在定直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定直線的距離與到定點(diǎn)的距離之比為.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）已知點(diǎn)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得曲線上另有一點(diǎn)，滿足，且？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程，并求出曲線與公共弦所在直線的極坐標(biāo)方程；

（2）若射線與曲線交于兩點(diǎn)，與曲線交于點(diǎn)，且，求的值.

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