如圖展示了一個由區(qū)間(0,1)到實數(shù)集R的映射過程:區(qū)間(0,1)中的實數(shù)m對應數(shù)軸上的點M,如圖①;將線段AB圍成一個圓,使兩端點A、B恰好重合,如圖②;再將這個圓放在平面直角坐標系中,使其圓心在y軸上,點A的坐標為(0,1),在圖形變化過程中,圖①中線段AM的長度對應于圖③中的弧ADM的長度,如圖③.圖③中直線AM與x軸交于點N(n,0),設f(m)=n.
給出下列命題:
①f(
1
2
)=0;
②f(x)是偶函數(shù);
③f(x)在定義域上單調遞增;
④f(x)的圖象關于點(
1
2
,0)對稱
則下列命題的正確的是( 。
分析:先弄清楚由區(qū)間(0,1)到實數(shù)集R的映射過程,并畫出如圖所示的圖象,進而可判斷出答案.
解答:解:根據(jù)映射規(guī)則,畫出如圖所示的圖象.
①當m=
1
2
時,點M在y軸上,此時AM在y軸上,直線AM與x軸交于點N(0,0),∴f(
1
2
)=0,故①正確;
②∵m的取值范圍是(0,1),關于原點不對稱,故不是偶函數(shù),因此②不正確;
③其對應規(guī)則是:m從0到1逐漸增大時,f(m)依次從-∞到+∞逐漸增大,故f(x)在定義域上單調遞增,因此③正確;
④由圖3可知:圓上的點M與M關于y軸對稱時,f(m)與f(m)在x軸上對應的點N與N也關于原點對稱,即f(x)的圖象關于點(
1
2
,0)對稱.
故選C.
點評:正確理解給出的映射規(guī)則及畫出圖象是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

10、如圖展示了一個由區(qū)間(0,4)到實數(shù)集R的映射過程:區(qū)間(0,4)中的實數(shù)m對應數(shù)軸上的點M(如圖),將線段AB圍成一個正方形,使兩端點A、B恰好重合(如圖),再將這個正方形放在平面直角坐標系中,使其中兩個頂點在y軸上,點A的坐標為(0,4)(如圖),若圖中直線AM與x軸交于點N(n,0),則m的象就是n,記作f(m)=n.現(xiàn)給出以下命題:
①f(2)=0;
②f(x)的圖象關于點(2,0)對稱;
③f(x)在(3,4)上為常數(shù)函數(shù);④f(x)為偶函數(shù).
其中正確命題的個數(shù)有( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖展示了一個由區(qū)間(0,1)到實數(shù)集R的映射過程:區(qū)間(0,1)中的實數(shù)m對應數(shù)軸上的點M,如圖1;將線段AB圍成一個圓,使兩端點A,B恰好重合,如圖2;再將這個圓放在平面直角坐標系中,使其圓心在y軸上,點A的坐標為(0,1),如圖3.圖3中直線AM與x軸交于點N(n,0),則m的像就是n,記作f(m)=n.則在下列說法中正確命題的個數(shù)為(  )
①f(
1
4
)=1;②f(x)為奇函數(shù);③f(x)在其定義域內單調遞增;④f(x)的圖象關于點(
1
2
,0
)對稱.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)如圖展示了一個由區(qū)間(0,1)到實數(shù)集R的對應過程:區(qū)間(0,1)中的實數(shù)m對應數(shù)軸上(線段AB)的點M(如圖1);將線段AB圍成一個圓,使兩端點A、B恰好重合(如圖2);再將這個圓放在平面直角坐標系中,使其圓心在y軸上;點A的坐標為(0,1)(如圖3),當點M從A到B是逆時針運動時,圖3中直線AM與x軸交于點N(n,0),按此對應法則確定的函數(shù)使得m與n對應,即
f(m)=n.

對于這個函數(shù)y=f(x),有下列命題:
f(
1
4
)=-1
;  ②f(x)的圖象關于(
1
2
,0)
對稱;  ③若f(x)=
3
,則x=
5
6
;  ④f(x)在(0,1)上單調遞增.
其中正確的命題個數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•資陽一模)如圖展示了一個由區(qū)間(0,1)到實數(shù)集R的映射過程:區(qū)間(0,1)中的實數(shù)m對應數(shù)軸上的點M,如圖①;將線段AB圍成一個圓,使兩端點A、B恰好重合,如圖②;再將這個圓放在平面直角坐標系中,使其圓心在y軸上,點A的坐標為(0,1),在圖形變化過程中,圖①中線段AM的長度對應于圖③中的弧ADM的長度,如圖③.圖③中直線AM與x軸交于點N(n,0),則m的象就是n,記作f(m)=n.

給出下列命題:
①f(
1
4
)=1;
②f(x)是奇函數(shù);
③f(x)在定義域上單調遞增;
④f(x)的圖象關于點(
1
2
,0)對稱. 
則所有真命題的序號是
③④
③④
.(填出所有真命題的序號)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•懷化二模)如圖展示了一個由區(qū)間(0,k)(其中k為一正實數(shù))到實數(shù)集R上的映射過程:區(qū)間(0,k)中的實數(shù)m對應線段AB上的點M,如圖1;將線段AB圍成一個離心率為
3
2
的橢圓,使兩端點A、B恰好重合于橢圓的一個短軸端點,如圖2;再將這個橢圓放在平面直角坐標系中,使其中心在坐標原點,長軸在x軸上,已知此時點A的坐標為(0,1),如圖3,在圖形變化過程中,圖1中線段AM的長度對應于圖3中的橢圓弧ADM的長度.圖3中直線AM與直線y=-2交于點N(n,-2),則與實數(shù)m對應的實數(shù)就是n,記作f(m)=n,

現(xiàn)給出下列5個命題①f(
k
2
)=6
;②函數(shù)f(m)是奇函數(shù);③函數(shù)f(m)在(0,k)上單調遞增;④函數(shù)f(m)的圖象關于點(
k
2
,0)
對稱;⑤函數(shù)f(m)=3
3
時AM過橢圓的右焦點.其中所有的真命題是( 。

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