Question

（2011•資陽一模）如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖①；將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合，如圖②；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），在圖形變化過程中，圖①中線段AM的長度對應(yīng)于圖③中的弧ADM的長度，如圖③．圖③中直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．

給出下列命題：
①f（

1

4

）=1；
②f（x）是奇函數(shù)；
③f（x）在定義域上單調(diào)遞增；
④f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，0）對稱． 
則所有真命題的序號是

③④

．（填出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①當(dāng)m=

1

4

時(shí)，此時(shí)M恰好處在左半圓弧的中點(diǎn)上，此時(shí)可以求出對應(yīng)直線AM的方程，進(jìn)而可求n．
②由定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，可判斷函數(shù)不是奇函數(shù)．
③在圓上，當(dāng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動時(shí)，N由x的負(fù)半軸向正半軸運(yùn)動時(shí)，可判斷函數(shù)的單調(diào)性．
④根據(jù)點(diǎn)M的運(yùn)動過程，可知函數(shù)的對稱性．

解答：解：①因?yàn)锳B=1，所以圓的周長為1，由2πr=1，所以解得圓的半徑r=

1

2π

，所以圓心坐標(biāo)為（0，1-

1

2π

），當(dāng)m=

1

4

時(shí)，此時(shí)M恰好處在左半圓弧的中點(diǎn)上，此時(shí)M的坐標(biāo)為（-

1

2π

，1-

1

2π

），對應(yīng)直線AM的方程為y=x+1．當(dāng)y=0時(shí)，解得x=-1，即N（-1，0），所以n=-1，即f（

1

4

）=-1，所以①錯(cuò)誤．
②由定義可知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1），關(guān)于原點(diǎn)不對稱，所以函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，所以②錯(cuò)誤．
③由圖3可以看出，m由0增大到1時(shí)，M由A運(yùn)動到B，此時(shí)N由x的負(fù)半軸向正半軸運(yùn)動，由此知，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸變大，故f（x）在定義域上單調(diào)遞增．所以③正確．
④由圖3可以看出，當(dāng)M點(diǎn)的位置離中間位置相等時(shí)，N點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，即此時(shí)函數(shù)值互為相反數(shù)，故可知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

1

2

，0）對稱，所以④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生的閱讀和分析能力．本題難度較大，正確閱讀題意是解題的關(guān)鍵．