Question

（2013•懷化二模）如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，k）（其中k為一正實(shí)數(shù)）到實(shí)數(shù)集R上的映射過程：區(qū)間（0，k）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)線段AB上的點(diǎn)M，如圖1；將線段AB圍成一個(gè)離心率為

3

2

的橢圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合于橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)，如圖2；再將這個(gè)橢圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，已知此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），如圖3，在圖形變化過程中，圖1中線段AM的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)于圖3中的橢圓弧ADM的長(zhǎng)度．圖3中直線AM與直線y=-2交于點(diǎn)N（n，-2），則與實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)就是n，記作f（m）=n，

現(xiàn)給出下列5個(gè)命題①f(

k

2

)=6；②函數(shù)f（m）是奇函數(shù)；③函數(shù)f（m）在（0，k）上單調(diào)遞增；④函數(shù)f（m）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

k

2

，0)對(duì)稱；⑤函數(shù)f(m)=3

3

時(shí)AM過橢圓的右焦點(diǎn)．其中所有的真命題是（　�。�

A．①③⑤

B．②③④

C．②③⑤

D．③④⑤

Answer 1

分析：本題利用直接法和排除法解決．由題意知，①可直接求解其函數(shù)值進(jìn)行判斷；
②函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，k），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)；
③當(dāng)x從0→k變化時(shí)，點(diǎn)N逐漸右移，其對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值逐漸變大；
④由于當(dāng)m=

k

2

時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M是橢圓的另一短軸端點(diǎn)，所以f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

k

2

，0）對(duì)稱；
⑤由于函數(shù)f(m)=3

3

，可求N點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立A點(diǎn)，可求直線AM，進(jìn)而即可判斷此時(shí)AM是否過橢圓的右焦點(diǎn)．

解答：解：由題意知，①當(dāng)m=

k

2

時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M是橢圓的另一短軸端點(diǎn)，f（

k

2

）=0，故①錯(cuò)誤；
②∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，4），關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，∴函數(shù)f（x）不可能是奇函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
③當(dāng)x從0→k變化時(shí)，點(diǎn)N逐漸右移，其對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值逐漸變大，故③正確；
④由于當(dāng)m=

k

2

時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M是橢圓的另一短軸端點(diǎn)，所以f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

k

2

，0）對(duì)稱，故④正確；
⑤由于函數(shù)f(m)=3

3

，則N（3

3

，-2），故AM方程是：y=-

3

3

x+1，
又由橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，0），所以函數(shù)f(m)=3

3

時(shí)AM過橢圓的右焦點(diǎn)，故⑤正確．
故答案為：③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了映射和函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素，具有一定的新意，關(guān)于新定義型的題，關(guān)鍵是理解定義，并會(huì)用定義來解題．