Question

（2011•上海模擬）如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的對應(yīng)過程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對應(yīng)數(shù)軸上（線段AB）的點(diǎn)M（如圖1）；將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合（如圖2）；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上；點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1）（如圖3），當(dāng)點(diǎn)M從A到B是逆時(shí)針運(yùn)動時(shí)，圖3中直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），按此對應(yīng)法則確定的函數(shù)使得m與n對應(yīng)，即
f（m）=n．

對于這個(gè)函數(shù)y=f（x），有下列命題：
①f(

1

4

)=-1；  ②f（x）的圖象關(guān)于(

1

2

，0)對稱；  ③若f(x)=

3

，則x=

5

6

；  ④f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．
其中正確的命題個(gè)數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由題中對映射運(yùn)算描述，對四個(gè)命題逐一判斷其真?zhèn)�，①因�(yàn)镸在以（1，1-

1

2π

）為圓心，（1-

1

2π

）為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)m=

1

4

時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1，0），故f（

1

4

）=-1；②可由圖3中圓關(guān)于Y軸的對稱判斷出正誤；③由f(x)=

3

，得到∠ANO=30°，∠OAN=60°，由此求出x；④可由圖3得到M的運(yùn)動規(guī)律觀察出函數(shù)值的變化，得出單調(diào)性．

解答：解：如圖，因?yàn)镸在以（1，1-

1

2π

）為圓心，（1-

1

2π

）為半徑的圓上運(yùn)動，
對于①當(dāng)m=

1

4

．M的坐標(biāo)為（-

1

2π

，1-

1

2π

），直線AM方程y=x+1，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1，0），故f（

1

4

）=-1，故①正確．
②是正確命題，由圖3可以看出，當(dāng)M點(diǎn)的位置離中間位置相等時(shí)，N點(diǎn)關(guān)于Y軸對稱，即此時(shí)函數(shù)值互為相反數(shù)，故可知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn) (

1

2

，0)對稱．
③是正確命題．∵f(x)=

3

，
∴∠ANO=30°，∴∠OAN=60°，
∴x=

5

6

．
④是正確命題，由圖3可以看出，m由0增大到1時(shí)，M由A運(yùn)動到B，此時(shí)N由x的負(fù)半軸向正半軸運(yùn)動，由此知，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸變大，故f（x）在定義域上單調(diào)遞增是正確的；
綜上知，①③④是正確命題，
故選D．

點(diǎn)評：本題考查映射的概念，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中所給的對應(yīng)關(guān)系，正確認(rèn)識三個(gè)圖象的意義，由此對四個(gè)命題的正誤作出判斷，本題題型新穎，寓數(shù)于形，是一個(gè)考查理解能力的題，對題設(shè)中所給的關(guān)系進(jìn)行探究，方可得出正確答案，本題易因?yàn)槔斫獠涣祟}意而導(dǎo)致無法下手，較抽象，是難題．