Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為 ，且過點(diǎn)D（2，0）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn) ，若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)D（2，0），左焦點(diǎn)為 ，

∴a=2， ，可得b= =1

因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x0，y0），線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），

由根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得 ，整理得 ，

∵點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓上，

∴可得 ，化簡(jiǎn)整理得 ，

由此可得線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是

【解析】（1）設(shè)橢圓方程為 ，根據(jù)題意可得a=2且c= ，從而b= =1，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)P（x0 ， y0），線段PA的中點(diǎn)為M（x，y），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式將x0、y0表示成關(guān)于x、y的式子，將P（x0 ， y0）關(guān)于x、y的坐標(biāo)形式代入已知橢圓的方程，化簡(jiǎn)整理即可得到線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．