【題目】已知數(shù)列{an}中,已知a1=1,
(1)求證數(shù)列{ }是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)若對(duì)一切n∈N* , 等式a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n恒成立,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

【答案】
(1)解:由

得an+1+2anan+1=an,

即an﹣an+1=2anan+1

兩邊同除以anan+1得, ,

,

所以數(shù)列{ }是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列


(2)解:由(1) ,

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式


(3)解:因?yàn)閷?duì)一切n∈N*

有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n

所以當(dāng)n≥2時(shí),a1b1+a2b2+a3b3+…+an1bn1=2n1

①﹣②得,當(dāng)n≥2時(shí),

anbn=2n1

,

所以bn=(2n﹣1)2n1

又n=1時(shí),a1b1=21,a1=1,

所以b1=2;

綜上得


【解析】(1)由 ,得an﹣an+1=2anan+1 , 兩邊同除以anan+1得, ,由此能夠證明數(shù)列{ }是等差數(shù)列.(2)由 ,知 .(3)因?yàn)閷?duì)一切n∈N* , 有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n , 當(dāng)n≥2時(shí),a1b1+a2b2+a3b3+…+an1bn1=2n1 , 當(dāng)n≥2時(shí),anbn=2n1 , 又 ,所以bn=(2n﹣1)2n1 , 由此能夠求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等差關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項(xiàng)和,需要了解如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),即=d ,(n≥2,n∈N)那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列;數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能得出正確答案.

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