【題目】在邊長為2的菱形中,
,將菱形
沿對角線
對折,使二面角
的余弦值為
,則所得三棱錐
的內(nèi)切球的表面積為( )
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
作出圖形,利用菱形對角線相互垂直的性質(zhì)得出DN⊥AC,BN⊥AC,可得出二面角B﹣AC﹣D的平面角為∠BND,再利用余弦定理求出BD,可知三棱錐B﹣ACD為正四面體,可得出內(nèi)切球的半徑R,再利用球體的表面積公式可得出答案.
如下圖所示,
易知△ABC和△ACD都是等邊三角形,取AC的中點(diǎn)N,則DN⊥AC,BN⊥AC.
所以,∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角,過點(diǎn)B作BO⊥DN交DN于點(diǎn)O,可得BO⊥平面ACD.
因?yàn)樵凇?/span>BDN中,,所以,BD2=BN2+DN2﹣2BNDNcos∠BND
,
則BD=2.
故三棱錐A﹣BCD為正四面體,則其內(nèi)切球半徑為正四面體高的,又正四面體的高為棱長的
,故
.
因此,三棱錐A﹣BCD的內(nèi)切球的表面積為.
故選:C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù),函數(shù)
,若對所有的
總存在
,使得
成立,則實(shí)數(shù)
的取值范圍是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】試求最小的正整數(shù),使得對于任何
個連續(xù)正整數(shù)中,必有一數(shù),其各位數(shù)字之和是7的倍數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
.
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時,證明:
;
(Ⅲ)求證:對任意正整數(shù),都有
(其中
為自然對數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠有甲、乙兩生產(chǎn)車間,其污水瞬時排放量(單位:
)關(guān)于時間
(單位:
)的關(guān)系均近似地滿足函數(shù)
,其圖象如圖所示:
(1)根據(jù)圖象求函數(shù)解析式;
(2)若甲車間先投產(chǎn),1小時后乙車間再投產(chǎn),求該廠兩車間都投產(chǎn)時刻的污水排放量;
(3)由于受工廠污水處理能力的影響,環(huán)保部門要求該廠兩車間任意時刻的污水排放量之和不超過,若甲車間先投產(chǎn),為滿足環(huán)保要求,乙車間比甲車間至少需推遲多少小時投產(chǎn)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】紙上寫有1,2,…,n這n個正整數(shù),第1步劃去前面4個數(shù)1,2,3,4在n的后面寫上劃去的4個數(shù)的和10;第2步再劃去前面的4個數(shù)5,6,7,8在最后寫上劃去的4個數(shù)的和26:如此下去(即每步劃去前面4個數(shù),在最后面寫上劃去的4個數(shù)的和)
(1)若最后只剩下一個數(shù),則n應(yīng)滿足的充要條件是什么?
(2)取n=2002到最后只剩下一個數(shù)為止,所有寫出的數(shù)(包括原來的1,2…,2002)的總和是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一幅標(biāo)準(zhǔn)的三角板如圖(1)中,為直角,
,
為直角,
,且
,把
與
拼齊使兩塊三角板不共面,連結(jié)
如圖(2).
(1)若是
的中點(diǎn),求證:
;
(2)在《九章算術(shù)》中,稱四個面都是直角三角形的三棱錐為“鱉臑”,若圖(2)中,三棱錐
的體積為
,則圖(2)是否為鱉臑?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的一元二次函數(shù)
,從集合
中隨機(jī)取一個數(shù)作為此函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)
,從集合
中隨機(jī)取一個數(shù)作為此函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)
.
(1)若,
,求函數(shù)
有零點(diǎn)的概率;
(2)若,求函數(shù)
在區(qū)間
上是增函數(shù)的概率.
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