Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（φx+φ）的圖象，如圖求：
（1）f（x）的解析式
（2）f（x）的單調(diào)增區(qū)間
（3）使f（x）＜0的x的取值集合．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由圖象求得A和周期，由周期公式求得ω，再由f（

π

4

）=1求得φ值，則函數(shù)解析式可求；
（2）直接由復合函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間；
（3）由正弦函數(shù)的象限符號得三角不等式，求解x的取值集合得答案．

解答： 解：（1）由圖象知：A=1，

T

2

=

7π

4

-

π

4

=

3π

2

，
∴T=3π，
∴ω=

2π

T

=

2π

3π

=

2

3

，
因此f（x）=sin（

2

3

x+φ），
又∵f（x）過最高點(

π

4

，1)，
∴sin（

2

3

×

π

4

+φ）=1，
則

π

6

+φ=

π

2

+2kπ，φ=

π

3

+2kπ，k∈Z．
∴φ=

π

3

．
∴f(x)=sin(

2

3

x+

π

3

)；
（2）由2kπ-

π

2

≤

2

3

x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，得：
3kπ-

5π

4

≤x≤3kπ+

π

4

，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[3kπ-

5π

4

，3kπ+

π

4

]，k∈Z；
（3）由f（x）＜0，即sin(

2

3

x+

π

3

)＜0，得：
2kπ+π＜

2

3

x+

π

3

＜2π+2kπ，k∈Z，
解得：3kπ+π＜x＜

5π

2

+3kπ，k∈Z．
∴不等式f（x）＜0得解集為(3kπ+π，

5π

2

+3kπ)，k∈Z．

點評：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，考查了復合函數(shù)的單調(diào)性，訓練了三角不等式的解法，是中檔題．