Question

已知函數(shù)y=sin²x+

3

sinxcosx+2cos²x，求：
（1）函數(shù)的最小值及此時的x的集合．
（2）函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)二倍角公式，化簡函數(shù)解析式：f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，然后，結合三角寒山寺的圖象與性質(zhì)求解最值問題；
（2）直接結合三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答： 解：（1）∵y=sin²x+

3

sinxcosx+2cos²x，
=cos²x+

3

sinxcosx+cos²x+sin²x
=cos²x+

3

sinxcosx+1
=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x+1
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

6

）+

3

2

∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

∴y_min=1+

3

2

=

5

2

，此時，2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴x=-

π

3

+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)的最小值

5

2

，及此時的x的集合{x|x=-

π

3

+kπ，k∈Z}．
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
∴函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]，
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，
∴函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)減區(qū)間[

π

6

，

2π

3

]
綜上，函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間為：[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]，
減區(qū)間為：[

π

6

，

2π

3

]．

點評：本題綜合考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二倍角公式、三角恒等變換等知識，屬于中檔題．