Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且滿(mǎn)足4a²cosB-2accosB=a²+b²-c²
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）求函數(shù)f（A）=2sin2（A+

π

4

）-cos（2A+

π

6

）的最大值及取得最大值時(shí)的A值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）已知等式右邊利用余弦定理表示，整理后利用正弦定理化簡(jiǎn)，求出cosB的值，即可確定出角B的大��；
（Ⅱ）f（A）解析式第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出最大值，以及此時(shí)A的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵4a²cosB-2accosB=a²+b²-c²，
∴4a²cosB-2accosB=2abcosC，即2acosB-ccosB=bcosC，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=

1

2

，
則B=

π

3

；
（Ⅱ）f（A）=2sin²（A+

π

4

）-cos（2A+

π

6

）
=1-cos（2A+

π

2

）-cos（2A+

π

6

）
=1+sin2A-

3

2

cos2A+

1

2

sin2A
=1+

3

2

sin2A-

3

2

cos2A
=1+

3

sin（2A-

π

6

），
在△ABC中，B=

π

3

，
∴0＜A＜

2π

3

，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，
當(dāng)2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

時(shí)，f（A）取最大值f（

π

3

）=1+

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，以及三角函數(shù)恒等變換應(yīng)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．