Question

1．已知函數(shù)f（x）=2^x（2^x-2）+b（b∈R）．
（1）若f（x）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）當(dāng)f（x）有零點(diǎn)時(shí)，討論f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并求出f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=0，可得-b=2^x（2^x-2），運(yùn)用配方和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得右邊函數(shù)的范圍，即可得到b的范圍；
（2）對(duì)b討論，當(dāng)b=1時(shí)，當(dāng)0＜b＜1時(shí)，當(dāng)b=0時(shí)，當(dāng)b＜0時(shí)，解方程注意指數(shù)函數(shù)的值域，即可得到零點(diǎn)．

解答 解：（1）由f（x）=0，可得-b=2^x（2^x-2），
由于2^x（2^x-2）=（2^x-1）²-1≥-1，
則-b≥-1，即有b≤1；
（2）f（x）=0，即為（2^x-1）²=1-b，
當(dāng)b=1時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)，且為0；
當(dāng)0＜b＜1時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)，且為log₂（1+$\sqrt{1-b}$）和log₂（1-$\sqrt{1-b}$）；
當(dāng)b=0時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)，且為1；
當(dāng)b＜0時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)，且為log₂（1+$\sqrt{1-b}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查分類討論的思想方法和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．