Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²-4ax+2a+6（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，3]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）的值域?yàn)榉秦?fù)數(shù)，求函數(shù)g（a）=2-a|a+3|的最值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得出對稱軸在區(qū)間[-2，3]外部，由此列出不等式，求出a的取值范圍；
（2）根據(jù)題意f（x）≥0恒成立，利用△≤0求出a的取值范圍，再化簡函數(shù)g（a），求出它在閉區(qū)間上的最值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-4ax+2a+6（a∈R），
其圖象是拋物線，對稱軸是x=2a；
∴當(dāng)2a≤-2，或2a≥3，
即a≤-1，或a≥$\frac{3}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，3]上是單調(diào)函數(shù)，
∴a的取值范圍是{a|a≤-1，或a≥$\frac{3}{2}$}；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）的值域?yàn)榉秦?fù)數(shù)時(shí)，f（x）≥0恒成立；
∴△≤0，即16a²-4（2a+6）≤0，
化簡得2a²-a-3≤0，
解得-1≤a≤$\frac{3}{2}$；
∴函數(shù)g（a）=2-a|a+3|=2-a（a+3）=-a²-3a+2，
其對稱軸為a=-$\frac{3}{2}$；
∴函數(shù)g（a）在[-1，$\frac{3}{2}$]上是單調(diào)減函數(shù)，
其最大值為g（-1）_max=-1+3+2=4，
最小值為${g（\frac{3}{2}）}_{min}$=-$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{2}$+2=-$\frac{19}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，
是綜合性題目．