Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=asin²x+bsinx+c，對(duì)x∈[0，2π]都有|f（x）|≤1．
（1）證明：|c|≤1；
（2）證明：對(duì)一切x∈[0，2π]，都有|2asinx+b|≤4．

Answer 1

分析 （1）由題意可得|f（0）|≤1，由此可得|c|≤1成立．
（2）令t=sinx，則f（x）=g（t）=a•t²+bt+c，可得g（1）=a+b+c，g（-1）=a-b+c，g（0）=c，求得a、b、c的解析式．根據(jù)題意|g（1）|≤1，g（-1）|≤1，|g（0）|≤1．根據(jù)|2asinx+b|=|2at+b|=|$\frac{3}{2}$g（1）+$\frac{1}{2}$g（-1）-2g（0）|，分類討論證得它小于或等于4．

解答 解：（1）證明：由于函數(shù)f（x）=asin²x+bsinx+c，對(duì)x∈[0，2π]都有|f（x）|≤1．
故有|f（0）|≤1，即|c|≤1．
（2）令t=sinx，則t∈[-1，1]，∴f（x）=g（t）=a•t²+bt+c，
可得g（1）=a+b+c，g（-1）=a-b+c，g（0）=c．
求得a=$\frac{g（-1）+g（1）}{2}$-g（0），b=$\frac{g（1）-g（-1）}{2}$，c=g（0）．
根據(jù)題意|g（1）|≤1，g（-1）|≤1，|g（0）|≤1．
當(dāng)a≠0時(shí)，|2asinx+b|=|2at+b|=|$\frac{3}{2}$g（1）+$\frac{1}{2}$g（-1）-2g（0）|
≤|$\frac{3}{2}$g（1）|+|$\frac{g（-1）}{2}$|+|2g（0）|≤$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$+2=4，
即|2asinx+b|≤4成立．
當(dāng)a=0時(shí)，|2asinx+b|=|b|=|$\frac{1}{2}$g（1）-$\frac{1}{2}$g（-1）|≤|$\frac{1}{2}$g（1）|+|$\frac{1}{2}$g（-1）|≤1，
故此時(shí)|2asinx+b|≤4成立．
綜上可得，對(duì)一切x∈[0，2π]，都有|2asinx+b|≤4成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．