Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$在x=$\frac{1}{4}$處的切線為l，直線g（x）=kx+$\frac{9}{4}$與l平行，求f（x）的圖象上的點到直線g（x）的最短距離．

Answer 1

分析 求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點T，可得g（x）的解析式，再由點到直線的距離公式計算可得最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
在x=$\frac{1}{4}$處的切線斜率為k=1，
則直線g（x）=x+$\frac{9}{4}$，
由切線的切點T（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
由T到直線的距離為d=$\frac{|\frac{1}{4}+\frac{9}{4}-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
即有f（x）的圖象上的點到直線g（x）的最短距離為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查點到直線的距離公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．