Question

9．已知f[f（x）-x²+x]=f（x）-x²+x僅有一個x₀∈R，使f（x₀）=x₀，求f（x）．

Answer 1

分析 由題意知f（x）-x²+x=x₀，從而可得x₀²-x₀=0，從而解出x₀，再討論求f（x）．

解答 解：∵f[f（x）-x²+x]=f（x）-x²+x，且僅有一個x₀∈R，使f（x₀）=x₀，
∴f（x）-x²+x=x₀，
令x=x₀得f（x₀）-x₀²+x₀=x₀，
又∵f（x₀）=x₀，
∴x₀²-x₀=0，
∴x₀=0或x₀=1；
若x₀=0，則f（x）=x²-x，
故方程x²-x=x有兩個不同的根；
若x₀=1，則f（x）=x²-x+1，
故方程x²-x+1=x有兩個相同的根，
綜上所述，f（x）=x²-x+1．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．