如圖，三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，，，分別是的中點(diǎn)

（1）求證：∥平面；
（2）求證：⊥平面；
（3）求三棱錐的體積的體積．

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（3）.

解析試題分析：本題主要以三棱柱為幾何背景考查線面平行、線面垂直和幾何體體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.第一問(wèn)，先根據(jù)題意作出輔助線，在中，利用中位線的性質(zhì)得，再由線面平行的判定，得證；第二問(wèn)，由已知條件可以判斷四邊形是正方形，所以對(duì)角線互相垂直，所以，又由于第一問(wèn)得，所以，再由已知證即可，由已知邊長(zhǎng)，得，所以，所以為等腰三角形，而為中點(diǎn)，所以為高，得證，再利用線面垂直的判定即可得證；第三問(wèn)，利用等體積法將三棱錐進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找到已知條件求體積.
試題解析：（1）證明：連結(jié)，顯然過(guò)點(diǎn)
∵分別是的中點(diǎn),    ∴，
又平面，平面，∴平面，
（2）∵三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，，
∴四邊形是正方形，∴，
由（1）知，∴，
連結(jié)，由，知，
∴，又易知是的中點(diǎn)，∴，
∴平面.
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c3/4/1ypok2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以三棱錐與三棱錐的體積相等，
故.
考點(diǎn)：1.中位線的性質(zhì)；2.線面平行的判定；3.三角形全等；4.線面垂直的判定；5.等體積法.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，三角形中，，是邊長(zhǎng)為的正方形，平面⊥底面，若、分別是、的中點(diǎn)．

（1）求證：∥底面；
（2）求證：⊥平面；
（3）求幾何體的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長(zhǎng)都相等，M、E分別是和AB1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上且滿足BF∶FC=1∶3.

(1)求證：BB1∥平面EFM；
(2)求四面體的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點(diǎn)

（Ⅰ）證明：BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）設(shè)AA1=AC=CB=2，AB=，求三棱錐C一A1DE的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC．

（1）求證：AC⊥BB1；
（2）若P是棱B1C1的中點(diǎn)，求平面PAB將三棱柱分成的兩部分體積之比．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖是一個(gè)直三棱柱被削去一部分后的幾何體的直觀圖與三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖.在直觀圖中，是的中點(diǎn).又已知側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形,有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.

(1)求證:EM∥平面ABC;
(2)試問(wèn)在棱DC上是否存在點(diǎn)N,使NM⊥平面? 若存在,確定
點(diǎn)N的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知四棱錐中，側(cè)棱底面，且底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，與相交于點(diǎn)．

（I）證明：；
（II）求三棱錐的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，在三棱錐A—BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個(gè)側(cè)面ABC是正三角形.

(1)當(dāng)正視圖方向與向量的方向相同時(shí)，畫出三棱錐A—BCD的三視圖;(要求標(biāo)出尺寸)
(2)求二面角B—AC—D的余弦值;
(3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與平面BCD成30°角？ 若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面四邊形ABCD中，ABC為正三角形，ADC為等腰直角三角形，AD=DC=2，將ABC沿AC折起，使點(diǎn)B至點(diǎn)P，且PD=2，M為PA的中點(diǎn)，N在線段PD上。

(I)若PA平面CMN，求證：AD//平面CMN；
(II)求直線PD與平面ACD所成角的余弦值。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案