【題目】如圖,在四棱錐A-EFCB中,為等邊三角形,平面AEF平面EFCB,,
,,,O為EF的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角F-AE-B的余弦值;
(Ⅲ)若BE平面AOC,求a的值.
【答案】(I)證明見解析;(II);(III).
【解析】
(I)由于平面AEF平面EFCB,為等邊三角形,O為EF的中點(diǎn),則,根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理,所以AO平面EFCB,又平面EFCB,則.
(II) 取CB的中點(diǎn)D,鏈接OD,以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)E,OD,OA為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,A,E,B,,,由于平面AEF與Y軸垂直,則設(shè)平面AEF的法向量為,設(shè)平面AEB的法向量,,,,,y=-1,則,二面角F-AE-B的余弦值cos(,)==,由二面角F-AE-B為鈍二面角,所以二面角F-AE-B的余弦值為.
(Ⅲ)由(I)知平面EFCB,則,若平面,只需,,又,,解得或,由于,則.
【考點(diǎn)精析】利用向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知設(shè)直線的方向向量分別是,則要證明∥,只需證明∥,即;則要證明,只需證明,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個頂點(diǎn)為,且它的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)A且斜率為k的直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M在橢圓上,且滿求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】首屆中國國際進(jìn)口博覽會在2018年11月5日—10日在上海國家會展中心舉辦。會議期間,某公司欲采購東南亞某水果種植基地的水果,公司劉總經(jīng)理與該種植基地的負(fù)責(zé)人陳老板商定一次性采購一種水果的采購價(元/噸)與采購量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖中的折線所示(不包含端點(diǎn),但包含端點(diǎn)).
(Ⅰ)求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)已知該水果種植基地種植該水果的成本是2800元/噸,那么劉總經(jīng)理的采購量為多少時,該水果基地在這次買賣中所獲得利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中, , , ,四邊形為矩形,平面平面, .
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)點(diǎn)在線段上運(yùn)動,設(shè)平面與平面所成銳二面角為,試求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A﹣BC﹣C,有如下四個結(jié)論:
①AC⊥BD;②△ABC是等邊三角形;
③AB與CD所成的角90°;④二面角A﹣BC﹣D的平面角正切值是;
其中正確結(jié)論是 .(寫出所有正確結(jié)論的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是等差數(shù)列,滿足, ,數(shù)列滿足, ,且是等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列五個命題:
①函數(shù)f(x)=2a2x-1-1的圖象過定點(diǎn)(,-1);
②已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x(x+1),若f(a)=-2則實(shí)數(shù)a=-1或2.
③若loga>1,則a的取值范圍是(,1);
④若對于任意x∈R都f(x)=f(4-x)成立,則f(x)圖象關(guān)于直線x=2對稱;
⑤對于函數(shù)f(x)=lnx,其定義域內(nèi)任意x1≠x2都滿足f()≥
其中所有正確命題的序號是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】北京、張家口2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會,某公司為了競標(biāo)配套活動的相關(guān)代言,決定對旗下的某商品進(jìn)行一次評估,該商品原來每件售價為25元,年銷售8萬件.
(1)據(jù)市場調(diào)查,若價格每提高1元,銷售量將相應(yīng)減少2000件,要使銷售的總收入不低于原收入,該商品每件定價最多為多少元?
(2)為了抓住申奧契機(jī),擴(kuò)大該商品的影響力,提高年銷售量.公司決定立即對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革,并提高定價到元.公司擬投入萬作為技改費(fèi)用,投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用,投入萬元作為浮動宣傳費(fèi)用.試問:當(dāng)該商品改革后的銷售量至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時,才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時商品的每件定價.
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