Question

【題目】數列滿足：對一切，有，其中是與無關的常數，稱數列上有界（有上界），并稱是它的一個上界，對一切，有，其中是與無關的常數，稱數列下有界（有下界），并稱是它的一個下界.一個數列既有上界又有下界，則稱為有界數列，常值數列是一個特殊的有界數列.設，數列滿足，，.

（1）若數列為常數列，試求實數、滿足的等式關系，并求出實數的取值范圍；

（2）下面四個選項，對一切實數，恒正確的是.（寫出所有正確選項，不需要證明其正確，但需要簡單說明一下為什么不選余下幾個）

A. 當時， B. 當時，

C. 當時， D. 當時，

（3）若，，且數列是有界數列，求的值及的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）B；（3），.

【解析】

（1）利用列方程，根據方程有實數根，求得的取值范圍.

（2）利用（1）的結論，判斷出錯誤選項，由此得出正確選項.

（3）對分成兩種情況進行分類討論，根據的上界和下界，列不等式，由此求得的值和的取值范圍.

（1）由于數列為常數列，所以，故，即，此方程有實數根，故，解得，即實數的取值范圍是.

（2）由（1）可知，當數列為常數列時，實數的取值范圍是，此時的值與有關，不一定大于，故ACD三個選項不正確，B選項正確.

（3） 依題意，大前提為：，

①當為常數列時，由（1）知，所以，，.

②當不是常數列時，由于，，故數列是單調遞增數列.最小值為，設對一切，有，故（）.

i)當時，，所以，即，故，由于成立，故③成立.由④得，即存在實數使上式成立，故，而本題大前提是，所以.此時，所以.所以，即.

ii)當時，，故.

若，則，，即，則，，其判別式，故不存在使成立.

所以，此時，，即，故，⑤恒成立.對于⑥，由④的分析可知，，.所以，解得.

綜上所述，，.