【題目】如圖,在四棱柱中, 平面,底面為梯形, , , ,點(diǎn), 分別為, 的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在點(diǎn),使與平面所成角的正弦值是,若存在,求的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ) (Ⅲ)
【解析】試題分析:(Ⅰ)連接,證明四邊形是平行四邊形. 得到,即可證明平面
(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線, 為軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出面的法向量和面的法向量,即可求出二面角的余弦值;
(Ⅲ)存設(shè)點(diǎn),所以
設(shè)與平面所成角為,所以
所以,即可求出的長(zhǎng)
試題解析:(Ⅰ)連接,因?yàn)辄c(diǎn), 分別為, 的中點(diǎn),
所以, .
所以四邊形是平行四邊形.
所以
因?yàn)?/span>平面, 平面,
所以平面
(Ⅱ)因?yàn)?/span>平面, ,
所以平面.
所以以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線, 為軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,則軸在平面內(nèi).
所以, , , ,
所以, .
設(shè)平面的法向量為,所以即
所以.
設(shè)平面的法向量為,
所以
又二面角為銳角,
所以二面角的余弦值是
(Ⅲ)存在. 設(shè)點(diǎn),所以
設(shè)與平面所成角為,所以
所以,解得
所以
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn), 的橫坐標(biāo),線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,直線與線段的垂直平分線相交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中, 、分別為、的中點(diǎn), , .
(1)求證:平面平面;
(2)若直線和平面所成角的正弦值等于,求二面角的平面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩家外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司的底薪80元,每單抽成4元;乙公司無(wú)底薪,40單以內(nèi)(含40單)的部分每單抽成6元,超出40單的部分每單抽成7元,假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同,現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員,并分別記錄其50天的送餐單數(shù),得到如下頻數(shù)表:
甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表
送餐單數(shù) | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天數(shù) | 10 | 15 | 10 | 10 | 5 |
乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表
送餐單數(shù) | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天數(shù) | 5 | 10 | 10 | 20 | 5 |
(1)現(xiàn)從甲公司記錄的50天中隨機(jī)抽取3天,求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率;
(2)若將頻率視為概率,回答下列兩個(gè)問(wèn)題:
①記乙公司送餐員日工資為(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
②小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2018河南安陽(yáng)市高三一模】如下圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與直線之間的陰影部分即為,區(qū)域中動(dòng)點(diǎn)到的距離之積為1.
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)動(dòng)直線穿過(guò)區(qū)域,分別交直線于兩點(diǎn),若直線與軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求證: 的面積恒為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】長(zhǎng)方形中, , 是中點(diǎn)(圖1).將△沿折起,使得(圖2)在圖2中:
(1)求證:平面 平面;
(2)在線段上是否存點(diǎn),使得二面角為大小為,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y2=2px(p>0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.
(1)求;
(2)除H以外,直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓的上一點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)且垂直于的直線與直線交于點(diǎn),求面積的最小值.
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