【題目】已知橢圓的離心率為，直線，圓的方程為，直線被圓截得的弦長與橢圓的短軸長相等，橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知經(jīng)過點(diǎn)且斜率為直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，請(qǐng)問是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）（2）不存在；詳見解析

【解析】

（1）求得圓心到直線的距離，利用直線和圓相交所得弦長公式列方程，解方程求得的值，結(jié)合橢圓離心率以及，求得的值，進(jìn)而求得橢圓離心率.

（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出根于系數(shù)關(guān)系以及判別式，利用與共線以及向量共線的坐標(biāo)表示列方程，由此判斷出不存在符合題意的常數(shù).

（1）圓心到直線的距離為，

直線被圓截得的弦長，.

由橢圓離心率為，結(jié)合可得，.即橢圓的方程為：.

（2）設(shè)直線的方程為，

代入橢圓方程，整理，得，①

因?yàn)橹本�與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和等價(jià)于，

解得.

設(shè)，，則，

由①得，②

又，③

因?yàn)?/span>，所以.

所以與共線等價(jià)于.

將②③代入上式，解得，（舍）.

因?yàn)椴粷M足，

所以不存在常數(shù)，使得向量與共線.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓:上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為4，且離心率為．

（1）求橢圓的方程．

（2）過作互相垂直的兩條直線分別與橢圓交于，和，，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，試探究直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠的,,三個(gè)不同車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.質(zhì)檢人員用分層抽樣的方法從這些產(chǎn)品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè):

車間

數(shù)量

50

150

100

(1)求這6件樣品中來自,,各車間產(chǎn)品的數(shù)量;

(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè),求這2件產(chǎn)品來自相同車間的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若拋物線的焦點(diǎn)為，是坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上的一點(diǎn)，向量與軸正方向的夾角為60°，且的面積為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，求當(dāng)取得最大值時(shí)，直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：經(jīng)過定點(diǎn)，其左右集點(diǎn)分別為，且，過右焦且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圈交于P，Q兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程：

（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在線段上是否存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓的焦點(diǎn)為和，過的直線交于兩點(diǎn)，過作與軸垂直的直線，又知點(diǎn)，直線記為，與交于點(diǎn)．設(shè)，已知當(dāng)時(shí)，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：無論如何變化，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著食品安全問題逐漸引起人們的重視，有機(jī)、健康的高端綠色蔬菜越來越受到消費(fèi)者的歡迎，同時(shí)生產(chǎn)—運(yùn)輸—銷售一體化的直銷供應(yīng)模式,不僅減少了成本，而且減去了蔬菜的二次污染等問題.

（1）在有機(jī)蔬菜的種植過程中，有機(jī)肥料使用是必不可少的.根據(jù)統(tǒng)計(jì)某種有機(jī)蔬菜的產(chǎn)量與有機(jī)肥料的用量有關(guān)系，每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚產(chǎn)量的增加量（百斤）與使用堆漚肥料（千克）之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表

使用堆漚肥料（千克）

2

4

5

6

8

產(chǎn)量的增加量（百斤）

3

4

4

4

5

依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；并根據(jù)所求線性回歸方程，估計(jì)如果每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚使用堆漚肥料10千克，則每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚產(chǎn)量增加量是多少百斤?

（2）某大棚蔬菜種植基地將采摘的有機(jī)蔬菜以每份三斤稱重并保鮮分裝,以每份10元的價(jià)格銷售到生鮮超市.“樂購”生鮮超市以每份15元的價(jià)格賣給顧客，如果當(dāng)天前8小時(shí)賣不完，則超市通過促銷以每份5元的價(jià)格賣給顧客（根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)天能夠把剩余的有機(jī)蔬菜都低價(jià)處理完畢，且處理完畢后，當(dāng)天不再進(jìn)貨）.該生鮮超市統(tǒng)計(jì)了100天有機(jī)蔬菜在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量（單位:份），制成如下表格(注:，且)；

前8小時(shí)內(nèi)的銷售量（單位:份）

15

16

17

18

19

20

21

頻數(shù)

10

x

16

6

15

13

y

若以100天記錄的頻率作為每日前8小時(shí)銷售量發(fā)生的概率，該生鮮超市當(dāng)天銷售有機(jī)蔬菜利潤的期望值為決策依據(jù)，當(dāng)購進(jìn)17份比購進(jìn)18份的利潤的期望值大時(shí)，求的取值范圍.

附：回歸直線方程為，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C1：x2＝2py（p＞0），圓C2：x2+y2﹣8y+12＝0的圓心M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)，過點(diǎn)P，M的直線交拋物線C1于另一點(diǎn)Q，且|PM|＝2|MQ|，過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，切點(diǎn)為A、B．

（Ⅰ）求拋物線C1的方程；

（Ⅱ）求直線PQ的方程及的值．

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