【題目】已知拋物線C1：x2＝2py（p＞0），圓C2：x2+y2﹣8y+12＝0的圓心M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離為，點P是拋物線C1上一點，過點P，M的直線交拋物線C1于另一點Q，且|PM|＝2|MQ|，過點P作圓C2的兩條切線，切點為A、B．

（Ⅰ）求拋物線C1的方程；

（Ⅱ）求直線PQ的方程及的值．

【答案】（Ⅰ）x2＝2y；（Ⅱ）21

【解析】

（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出4，由此能求出拋物線C1的方程．

（Ⅱ）設(shè)PQ的方程：y＝kx+4，由，得x2﹣2kx﹣8＝0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出直線PQ的方程及的值．

（Ⅰ），∴M（0,4），

拋物線的準(zhǔn)線方程是y，

依題意：4，∴p＝1，

∴拋物線C1的方程為：x2＝2y．

（Ⅱ）設(shè)PQ的方程：y＝kx+4，

由，得x2﹣2kx﹣8＝0，設(shè)P（x1,y1），Q（x2,y2），

則，

∵|PM|＝2|MQ|，∴，∴﹣x1＝2x2，①

又x1+x2＝2k，…②，x1x2＝﹣8，③，

由①②③得k＝±1，

∴PQ的方程為：y＝±x+4．

取PQ的方程：y＝x+4，和拋物線x2＝2y，聯(lián)立得P點坐標(biāo)為P（4,8）

∴||＝4，連接AM，BM，||＝||，

設(shè)∠APM＝α，則sinα，

∴||||cos2α

＝28（1﹣2sin2α）＝21．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知橢圓的離心率為，直線，圓的方程為，直線被圓截得的弦長與橢圓的短軸長相等，橢圓的左頂點為，上頂點為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知經(jīng)過點且斜率為直線與橢圓有兩個不同的交點和，請問是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

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（2）若PD與平面ABCD所成的角為．且為銳角三角形，求平面PAD和平面PBC所成銳二面角的余弦值．

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【題目】已知數(shù)列的前項和為，（為常數(shù)）對于任意的恒成立．

（1）若，求的值；

（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）若，關(guān)于的不等式有且僅有兩個不同的整數(shù)解，求的取值范圍．

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【題目】如圖，是正方形，點在以為直徑的半圓弧上（不與，重合），為線段的中點，現(xiàn)將正方形沿折起，使得平面平面.

（1）證明：平面.

（2）若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，求到平面的距離.

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【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；

（2）用表示中的最大值，為的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明：．

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【題目】三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB＝AA1＝A1B＝4，BC＝2，AC＝2，點F為AB的中點，點E為線段A1C1上的動點.

（1）求證：BC⊥平面A1EF；

（2）若∠B1EC1＝60°，求四面體A1B1EF的體積.

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