Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n²=a_n（S_n-

1

2

）．
（1）證明：{

1

Sn

}為等差數(shù)列，并求a_n；
（2）設(shè)b_n=

Sn

2n+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（3）是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N^*，都有T_n＞

1

4

（m-8）成立？若存在求出m的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）將a_n=S_n-S_n-1代入已知等式，展開(kāi)變形、化簡(jiǎn)可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，證出數(shù)列{

1

Sn

}為等差數(shù)列，從而，得出S_n的表達(dá)式，進(jìn)而可以求出a_n；
（2）將（1）中的S_n的表達(dá)式代入到b_n當(dāng)中，用裂項(xiàng)相消法可以求出T_n表達(dá)式；
（3）用T_n的表達(dá)式得出其單調(diào)性，將不等式T_n＞

1

4

（m-8）轉(zhuǎn)化為T(mén)₁＞

1

4

（m-8），最后可以求出符合題m的最大值．

解答： （1）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，
∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)=Sn2-

1

2

Sn-SnSn-1+

1

2

Sn-1，
∴S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，即數(shù)列{

1

Sn

}為等差數(shù)列，S₁=a₁=1，
∴

1

Sn

=

1

S1

+(n-1)×2=2n-1，∴Sn=

1

2n-1

，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

=-

2

(2n-1)•(2n-3)

，
∴an=

1，n=1 - 2 (2n-1)•(2n-3) ，n≥2

．
（2）解：bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

；

（3）解：Tn＞

1

4

(m-8)⇒

n

2n+1

＞

1

4

(m-8)⇒m＜8+

4n

2n+1

⇒m＜8+

4

2+ 1 n

而8+

4

2+ 1 n

是單增數(shù)列，其最小值為8+

4

2+ 1 1

=

28

3

．因此m＜

28

3

，即存在自然數(shù)m，
使得對(duì)任意n∈N^*，都有Tn＞

1

4

(m-8)成立，且m的最大值為9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列求和的方法和等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．采用裂項(xiàng)相消法、利用數(shù)列的單調(diào)性和不等式恒成立的處理，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．