Question

如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，過EF任作一個平面α分別與直線BC，AD相交于點G，H，則下列結(jié)論正確的是

 

．
①對于任意的平面α，都有直線GF，EH，BD相交于同一點；
②存在一個平面α₀，使得GF∥EH∥BD；
③存在一個平面α₀，使得點G在線段BC上，點H在線段AD的延長線上；
④對于任意的平面α，都有S_△EFG=S_△EFH．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：簡易邏輯

分析：①取AD的中點H，BC的中點G，則EGFH在一個平面內(nèi)，此時直線GF∥EH∥BD；
②由①即可判斷出；
③不存在一個平面α₀，使得點G在線段BC上，點H在線段AD的延長線上；
④分別取AC、BD的中點M、N，則BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD與BC到平面MENF的距離相等，即可判斷出．

解答： 解：①取AD的中點H，BC的中點G，則EGFH在一個平面內(nèi)，此時直線GF∥EH∥BD，因此不正確；
②取AD的中點H，BC的中點G，則EGFH在一個平面內(nèi)，取為平面α₀，使得GF∥EH∥BD，正確；
③不存在一個平面α₀，使得點G在線段BC上，點H在線段AD的延長線上；
④分別取AC、BD的中點M、N，則BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD與BC到平面MENF的距離相等，因此對于任意的平面α，都有S_△EFG=S_△EFH．
綜上可知：只有②④正確．
故答案為：②④．

點評：本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)、共面公理、三角形的中位線定理，考查了推理能力和空間想象能力，屬于難題．