【題目】已知函數(shù).

(I)討論函數(shù)的單調(diào)性,并證明當(dāng)時(shí), ;

(Ⅱ)證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值,設(shè)最小值為,求函數(shù)的值域.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析:(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù),確定導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上恒非負(fù),故得函數(shù)單調(diào)區(qū)間;根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增得,即得不等式,(2)利用(1)結(jié)論可得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得有一唯一零點(diǎn).從而可得處取最小值,利用化簡(jiǎn),得.最后再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,即得函數(shù)的值域.

試題解析:(1)由

上單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí),由上知

,即,得證.

(2)對(duì)求導(dǎo),得

,

由(Ⅰ)知,函數(shù)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,

, ,所以存在唯一正實(shí)數(shù),使得

于是,當(dāng)時(shí), , ,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí), , ,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

所以內(nèi)有最小值,

由題設(shè)即

又因?yàn)?/span>.所以

根據(jù)(Ⅰ)知, 內(nèi)單調(diào)遞增, ,所以

,則,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,

所以,

即函數(shù)的值域?yàn)?/span>

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