Question

【題目】已知函數(shù).

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性,并證明當(dāng)時， ;

（Ⅱ）證明：當(dāng)時，函數(shù)有最小值，設(shè)最小值為，求函數(shù)的值域.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上恒非負(fù)，故得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增得，即得不等式，（2）利用（1）結(jié)論可得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)零點存在定理可得有一唯一零點且．從而可得在處取最小值，利用化簡，得．最后再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，即得函數(shù)的值域.

試題解析：（1）由得

故在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，由上知，

即，即，得證.

（2）對求導(dǎo)，得， ．

記， ．

由（Ⅰ）知，函數(shù)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

又， ，所以存在唯一正實數(shù)，使得．

于是，當(dāng)時， ， ，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ， ，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．

所以在內(nèi)有最小值，

由題設(shè)即．

又因為．所以．

根據(jù)（Ⅰ）知， 在內(nèi)單調(diào)遞增， ，所以．

令，則，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

所以，

即函數(shù)的值域為．