【題目】已知函數(shù).

)若過點(diǎn)恰有兩條直線與曲線相切,求的值;

)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),若恰有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).

【解析】試題分析:(Ⅰ)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求得 的過點(diǎn)的切線方程,構(gòu)造輔助函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,分類討論即可得a的值;

(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)的定義求,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)的判斷,采用分類討論法,求得函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即可求得恰有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析:(Ⅰ)∵,∴,

設(shè)切點(diǎn)為,則該點(diǎn)處的切線方程為,

又∵切線過點(diǎn),∴

整理得, ,(*)

依題設(shè),方程(*)恰有兩個(gè)不同的解,

,則

,

①當(dāng)時(shí), 恒成立, 單調(diào)遞增,至多只有一個(gè)零點(diǎn),不合題設(shè);

②當(dāng)時(shí),則的極值點(diǎn),若恰有兩個(gè)不同的解,

,又∵,

,∴.

,則,

,∴上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

又∵, ∴當(dāng)時(shí), 無解. ∴.

(Ⅱ)∵,

∴當(dāng)時(shí),解.

由(Ⅰ)知,

當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

∴當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), .

, ∴

∴當(dāng)時(shí), 上單調(diào)遞減,

,∴.

∴當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,

此時(shí)恰有三個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí), ,解

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

,當(dāng)時(shí), ,此時(shí)不合題意;

當(dāng)時(shí), 恰有一個(gè)零點(diǎn),此時(shí)符合題意;

當(dāng)時(shí), , ,

又∵,當(dāng)時(shí), .

上有兩個(gè)零點(diǎn),此時(shí)上有4個(gè)零點(diǎn),不合題設(shè).

綜上, 的取值范圍是.

點(diǎn)晴:本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題:可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù),如果函數(shù)較為復(fù)雜,可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題,可參變分離,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理. 恒成立問題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問題的問題,往往可利用參變分離的方法,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理.也可構(gòu)造新函數(shù)然后利用導(dǎo)數(shù)來求解.注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

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