Question

第十八屆省運(yùn)會將于2014年9月在徐州市舉辦．為營造優(yōu)美的環(huán)境，舉辦方?jīng)Q定在某“葫蘆”形花壇中建噴泉．如圖，該花壇的邊界是兩個半徑為10米的圓弧圍成，兩圓心O₁、O₂之間的距離為10米．
（1）如圖甲，在花壇中建矩形噴泉，四個頂點(diǎn)A，B，C，D均在圓弧上，O₁O₂⊥AB于點(diǎn)M．設(shè)∠AO₂M=θ，求矩形的寬AB為多少時(shí)，可使噴泉ABCD的面積最大；
（2）如圖乙，在花壇中間鋪設(shè)一條寬為2米的觀賞長廊以作休閑之用，則矩形噴泉變?yōu)閮蓚�全等的等腰三角形，其中NA=NB，NO₂=4米．若∠AO₂M=θ∈[

π

6

，

π

4

]，求噴泉的面積的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：常規(guī)題型,應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：第（1）問要構(gòu)造矩形的面積關(guān)于角θ的函數(shù)，需要利用三角函數(shù)把矩形的長和寬用角θ表示出來，進(jìn)而利用矩形的面積公式表示面積，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，在求解時(shí)要注意角θ的取值范圍；
第（2）問由（1）容易得到噴泉面積關(guān)于角θ的函數(shù)，然后根據(jù)角θ的范圍判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)面求出面積的取值范圍．

解答： 解：（1）在直角△AO₂M中，AM=10sinθ，O₂M=10cosθ，則AD=20cosθ+10，
所以矩形ABCD的面積S=20sinθ（20cosθ+10）=200（2sinθcosθ+sinθ），…（4分）
令f（θ）=2sinθcosθ+sinθ，0＜θ≤

π

3

，
則f'（θ）=2cos2θ+cosθ=4cos²θ+cosθ-2，
令f'（θ）=0，得cosθ=

33 -1

8

．設(shè)cosθ0=

33 -1

8

，且0＜θ0≤

π

3

，列表如下：

θ	（0，θ0）	θ0	(θ0， π 3 )
f'（θ）	+	0	-
f（θ）	↗	極大值	↘

所以當(dāng)θ=θ₀，即AB=

5 30+2 33

2

時(shí)，矩形ABCD的面積最大．  …（10分）
（2）由（1）易得，噴泉的面積S=20sinθ（10cosθ+4）=100sin2θ+80sinθ，
由θ∈[

π

6

，

π

4

]知，2θ∈[

π

3

，

π

2

]，所以函數(shù)g（θ）=100sin2θ+80sinθ是單調(diào)增函數(shù)，
所以S∈[50

3

+40，100+40

2

]．                  …（13分）
答：（1）矩形的寬AB=

5 30+2 33

2

（米）時(shí)，可使噴泉ABCD的面積最大；
（2）噴泉的面積的取值范圍是[50

3

+40，100+40

2

]（單位：平方米）．   …（14分）

點(diǎn)評：本題是一個應(yīng)用題，關(guān)鍵是根據(jù)題意建立函數(shù)模型，在求最值時(shí)要特別注意變量角θ的取值范圍．