Question

設(shè)拋物線C：y²=4x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線上．（A，B都不是頂點）
（1）求證：過點A的切線方程是y₁y=2（x+x₁）．
（2）設(shè)以A，B為切點的切線分別為l₁，l₂，H為l₁與l₂的交點，若AB經(jīng)過焦點F．
①證明：l₁⊥l₂；
②證明：H點的軌跡是C的準(zhǔn)線．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)過點A的切線方程是y-y₁=k（x-x₁），代入y²=4x得ky²-4y+4y₁-4kx₁=0，由相切利用△=0能證明過點A的切線方程是y₁y=2（x+x₁）．
（2）由（1）可知，以B為切點的切線l₂的方程為y₂y=2（x+x₂）設(shè)H（x，y），由已知條件推導(dǎo)出x=

y1y2

4

，

FA

∥

FB

，從而得到y(tǒng)₁y₂=-4，x=-1，①又k₁k₂=

4

y1y2

=-1，由此能證明l₁⊥l₂．②由x=-1，能證明點H的軌跡是準(zhǔn)線．

解答： （1）證明：設(shè)過點A的切線方程是y-y₁=k（x-x₁），
代入y²=4x得ky²-4y+4y₁-4kx₁=0，由題意知k≠0
∵相切，∴△=0，16=16k（y₁-kx₁），∴k₁=

2

y1

，
∴切線方程是y-y₁=

2

y1

（x-x₁）
整理，得y₁y=2（x+x₁）．
∴過點A的切線方程是y₁y=2（x+x₁）．…（4分）
（2）證明：由（1）可知，以B為切點的切線l₂的方程為y₂y=2（x+x₂）
設(shè)H（x，y），則

y1y=2(x+x1) y2y=2(x+x2)

，
∴

y2

y1

=

x2+x

x1+x

，
∴將x₁=

y12

4

，x₂=

y22

4

，代入整理得x=

y1y2

4

，…（8分）
∵AB過點F（1，0），∴

FA

∥

FB

，
∴（x₁-1）y₂=（x₂-1）y₁，即y₁-y₂=x₂y₁-x₁y₂
∴y₁y₂=-4，∴x=-1，
①又k₁k₂=

4

y1y2

=-1，∴l(xiāng)₁⊥l₂．…（10分）
②∵x=-1，∴點H的軌跡是準(zhǔn)線 …（12分）

點評：本題考查過點A的切線方程是y₁y=2（x+x₁）的證明，考查l₁⊥l₂的證明，考查H點的軌跡是C的準(zhǔn)線的證明．解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用．