已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），實(shí)軸長(zhǎng)2
3
．
（1）求雙曲線的方程
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），實(shí)軸長(zhǎng)2
3
，求出幾何量，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得k2≠
1
3
且k2＜1，再由∠AOB為銳角，得xAxB+yAyB＞0，利用韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行求解．
解答： 解：（1）∵中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），實(shí)軸長(zhǎng)2
3
，
∴2a=2
3
，a=
3
，c=2，b=1，
∴雙曲線的方程為
x2
3
-y2=1；
（2）將y=kx+
2
代入雙曲線消去y得（1-3k2）x2-6
2
kx-9=0．
由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得
1-3k2≠0
△=36(1-k2)＞0

即k2≠
1
3
且k2＜1．①
設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），則xA+xB=
6
2
k
1-3k2
，xAxB=
-9
1-3k2
．
由∠AOB為銳角，得xAxB+yAyB＞0，
即xAxB+yAyB=xAxB+（kxA+
2
）（kxB+
2
）=（k2+1）xAxB+
2
k（xA+xB）+2
=
3k2+7
3k2-1
＞0．②
∵-3k2-7＜0
，
∴1-3k2＜0
綜上：k∈(-1，-
3
3
)∪(
3
3
，1)
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a=
sin1
1
，b=
sin2
2
，c=
sin3
3
，則a，b，c的大小關(guān)系是（　�。�
A、a＞b＞c
B、a＞c＞b
C、c＞a＞b
D、c＞b＞a

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a∈R．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（2）令F（x）=f（x）+（a+2）x，若函數(shù)F（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x0，h（x0））處的切線方程為l：y=g（x），當(dāng)x≠x0時(shí)，若
h(x)-g(x)
x-x0
＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“特殊點(diǎn)”，當(dāng)a=4時(shí)，試問(wèn)y=f（x）是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)至少求出一個(gè)“特殊點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓D：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)為A，在c軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B，滿足
BF1
=
F1F2
，且AB⊥AF2．
（Ⅰ）求橢圓D的離心率；
（Ⅱ）若過(guò)A、B、F2三點(diǎn)的圓C恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求圓C方程及橢圓D的方程；
（Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)T（3，0）的直線與橢圓D相交于兩點(diǎn)M、N，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足
OM
+
ON
=t
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，a=2，cosB=
3
5
，
（1）若b=4，求sinA的值；
（2）若△ABC的面積S△ABC=4，求b和c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）直線l過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且斜率為1與橢圓交于AB兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)拋物線C：y2=4x，A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線上．（A，B都不是頂點(diǎn)）
（1）求證：過(guò)點(diǎn)A的切線方程是y1y=2（x+x1）．
（2）設(shè)以A，B為切點(diǎn)的切線分別為l1，l2，H為l1與l2的交點(diǎn)，若AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F．
①證明：l1⊥l2；
②證明：H點(diǎn)的軌跡是C的準(zhǔn)線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（ax2-x）lnx-
1
2
ax2+x（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在（e，f（e）處的切線方程（e=2.718…）
（2）已知x=e為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某單位為了制定節(jié)能減排目標(biāo)，先調(diào)查了用電量y（單位：度）與氣溫x（單位：℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：
x181310-1
y24343864
由表中數(shù)據(jù)，得線性回歸直線方程
y
=-2x+b，當(dāng)氣溫不低于-5℃時(shí)，預(yù)測(cè)用電量最多為
 
度．

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