Question

某同學(xué)對函數(shù)f（x）=

sinx

x

進(jìn)行研究后，得出以下五個結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象是軸對稱圖形；
②函數(shù)y=f（x）對任意定義域中x值，恒有|f（x）|＜1成立；
③函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個交點(diǎn)，且每相鄰兩交點(diǎn)間距離相等；
④對于任意常數(shù)N＞0，存在常數(shù)b＞a＞N，函數(shù)y=f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，且|b-a|≥1；
⑤當(dāng)常數(shù)k滿足k≠0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A、5
• B、4
• C、3
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：抓住函數(shù)f（x）的圖象與性質(zhì)來求解．

解答： 解：①f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），且f（-x）=f（x），所以f（x）為偶函數(shù)，故①正確；
②根據(jù)正弦值在單位圓中的定義可知，|sinx|＜|x|，即在x∈（0，1]時(shí)，有|

sinx

x

|＜1，又因?yàn)閨sinx|≤1，所以在x＞1時(shí)，有|

sinx

x

|＜1．又因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以在其定義域內(nèi)有|

sinx

x

|＜1，故②正確；
③函數(shù)f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（kπ，0）（k≠0），∴交點(diǎn)（-π，0）與（π，0）的距離為2π，而其余任意兩點(diǎn)之間的距離為π，故③錯誤；
④令h1(x)=

1

x

，h₂（x）=sinx，兩函數(shù)在[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

](k∈N)上均單調(diào)遞減，且均為正值，
∴f（x）在[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

](k∈N)上單調(diào)遞減，對于任意常數(shù)N＞0，存在常數(shù)b＞a＞N，a，b∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

](k∈N)，函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，且|b-a|≥1，故④正確；
⑤f（x）的大致圖象如圖所示，
y=kx與f（x）的圖象可能有2個交點(diǎn)，故⑤錯誤．
故正確的為①②④，為3個，
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，有一定的難度，且易錯，只有冷靜分析，方可得到正解．