【題目】已知橢圓的左、右焦點為，左右兩頂點，點為橢圓上任意一點，滿足直線的斜率之積為，且的最大值為4.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知直線與軸的交點為，過點的直線與橢圓相交與兩點，連接點并延長，交軌跡于一點.求證：.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）因為的最大值為4，根據(jù)橢圓的定義，利用基本不等式求得，再根據(jù)直線的斜率之積為，有，求得，寫出橢圓方程.

（2）由條件知，設直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消得，設，則.

由根與系數(shù)的關系得，.，設直線的方程為，

所以，得，因為要證.根據(jù)橢圓的對稱性，只要證得點與 關于x軸對稱， 即.

（1）根據(jù)題意，

又設，所以，所以，

故，從而橢圓的標準方程為.

（2）根據(jù)題意，，所以設直線的方程，

聯(lián)立，消得，

，即.

設，則.

由根與系數(shù)的關系得，.

設直線的方程為，

所以，得，

所以

所以

.

所以

故，

所以.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著新課程改革和高考綜合改革的實施，高中教學以發(fā)展學生學科核心素養(yǎng)為導向，學習評價更關注學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展．為此，我市于2018年舉行第一屆高中文科素養(yǎng)競賽，競賽結(jié)束后，為了評估我市高中學生的文科素養(yǎng)，從所有參賽學生中隨機抽取1000名學生的成績（單位：分）作為樣本進行估計，將抽取的成績整理后分成五組，從左到右依次記為，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）請補全頻率分布直方圖并估計這1000名學生成績的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）采用分層抽樣的方法從這1000名學生的成績中抽取容量為40的樣本，再從該樣本成績不低于80分的學生中隨機抽取2名進行問卷調(diào)查，求至少有一名學生成績不低于90分的概率；

（3）我市決定對本次競賽成績排在前180名的學生給予表彰，授予“文科素養(yǎng)優(yōu)秀標兵”稱號．一名學生本次競賽成績?yōu)?9分，請你判斷該學生能否被授予“文科素養(yǎng)優(yōu)秀標兵”稱號．

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【題目】為實現(xiàn)有效利用扶貧資金，增加貧困村民的收入，扶貧工作組結(jié)合某貧困村水質(zhì)優(yōu)良的特點，決定利用扶貧資金從外地購買甲、乙、丙三種魚苗在魚塘中進行養(yǎng)殖試驗，試驗后選擇其中一種進行大面積養(yǎng)殖，已知魚苗甲的自然成活率為0.8.魚苗乙，丙的自然成活率均為0.9，且甲、乙、丙三種魚苗是否成活相互獨立.

（1）試驗時從甲、乙，丙三種魚苗中各取一尾，記自然成活的尾數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；

（2）試驗后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗較好，扶貧工作組決定購買尾乙種魚苗進行大面積養(yǎng)殖，為提高魚苗的成活率，工作組采取增氧措施，該措施實施對能夠自然成活的魚苗不產(chǎn)生影響.使不能自然成活的魚苗的成活率提高了50%.若每尾乙種魚苗最終成活后可獲利10元，不成活則虧損2元，且扶貧工作組的扶貧目標是獲利不低于37.6萬元，問需至少購買多少尾乙種魚苗？

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【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，過分別作曲線與的切線，且與關于軸對稱，求證: .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點為，左右兩頂點，點為橢圓上任意一點，滿足直線的斜率之積為，且的最大值為4.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與過點且與軸垂直的直線交于點，過點作，垂足分別為兩點，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：的焦點為F，過F的直線交拋物線C于A，B兩點．

（1）求線段AF的中點M的軌跡方程；

（2）已知△AOB的面積是△BOF面積的3倍，求直線的方程．

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【題目】已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有極值點.

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)在區(qū)間的最大值為且最小值為，求的取值范圍.

參考數(shù)據(jù)：.

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【題目】某醫(yī)科大學實習小組為研究實習地晝夜溫差與患感冒人數(shù)之間的關系，分別到當?shù)貧庀蟛块T和某醫(yī)院抄錄了1月份至3月份每月5日、20日的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如表資料：

日期

1月5日

1月20日

2月5日

2月20日

3月5日

3月20日

晝夜溫差（）

10

11

13

12

8

6

就診人數(shù)（人）

22

25

29

26

16

12

該小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中隨機選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩余的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.

（1）求剩余的2組數(shù)據(jù)中至少有一組是20日的概率；

（2）若選取的是1月20日，2月5日，2月20日，3月5日四組數(shù)據(jù).

①請根據(jù)這四組數(shù)據(jù)，求出關于的線性回歸方程（，用分數(shù)表示）；

②若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩余的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過1人，則認為得到的線性回歸方程是理想的，試問①中所得線性回歸方程是否理想？

附參考公式：，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求的極大值點；

（2）若函數(shù)，判斷的單調(diào)性；

（3）若函數(shù)有兩個極值點，求證：.

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