【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．

（1）求線段AF的中點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）已知△AOB的面積是△BOF面積的3倍，求直線的方程．

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)線段AF的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，即可求得，將它們代入即可得解。

（2）設(shè)，由△AOB的面積是△BOF面積的3倍可得：直線的斜率存在，且的面積是面積的2倍，即可整理得：，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得：，，結(jié)合即可求得：，問(wèn)題得解。

（1）設(shè)線段AF的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由拋物線的方程可得：焦點(diǎn)

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：

即：

又在拋物線上，所以，

將代入上式可得：

整理得：

所以線段AF的中點(diǎn)M的軌跡方程為：

（2）依據(jù)題意作出圖形，如下：

設(shè)，且與的取值一正、一負(fù)

因?yàn)椤鰽OB的面積是△BOF面積的3倍，所以直線的斜率存在，

且的面積是面積的2倍，

即：，整理得：

設(shè)直線的方程為：

聯(lián)立直線與拋物線方程可得：，整理得：.

所以，

由解得：.

所以直線的方程為：

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市場(chǎng)研究人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進(jìn)的甲公司前期的經(jīng)營(yíng)狀況，采集相應(yīng)數(shù)據(jù)，對(duì)該公司2017年連續(xù)六個(gè)月的利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了相應(yīng)的折線圖，如圖所示：

（1）折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月利潤(rùn)（單位：百萬(wàn)元）與月份代碼之間的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司2018年1月份的利潤(rùn)；

（2）甲公司新研制了一款產(chǎn)品，需要采購(gòu)一批新型材料，現(xiàn)有采購(gòu)成本分別為10萬(wàn)元包和12萬(wàn)元包的、兩種型號(hào)的新型材料可供選擇，按規(guī)定每種新型材料最多可使用4個(gè)月，不同類型的新型材料損壞的時(shí)間各不相同，已知生產(chǎn)新型材料的企業(yè)乙對(duì)、兩種型號(hào)各100件新型材料進(jìn)行過(guò)科學(xué)模擬測(cè)試，得到兩種新型材料使用壽命頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：

使用壽命

材料類型

1個(gè)月

2個(gè)月

3個(gè)月

4個(gè)月

總計(jì)

20

35

35

10

100

10

30

40

20

100

經(jīng)甲公司測(cè)算，平均每包新型材料每月可以帶來(lái)5萬(wàn)元收入，不考慮除采購(gòu)成本之外的其他成本，假設(shè)每包新型材料的使用壽命都是整數(shù)月，且以頻率作為每包新型材料使用壽命的概率，如果你是甲公司的負(fù)責(zé)人，以每包新型材料產(chǎn)生利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，你會(huì)選擇采購(gòu)哪款新型材料？

參考數(shù)據(jù)：，．

參考公式：回歸直線方程為，其中．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：x2＝6y與直線l：y＝kx+3交于M，N兩點(diǎn)．

（1）設(shè)M，N到y(tǒng)軸的距離分別為d1，d2，證明：d1d2為定值．

（2）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM＝∠OPN？若存在，求以線段OP為直徑的圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】京劇是我國(guó)的國(guó)粹，是“國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)”，為紀(jì)念著名京劇表演藝術(shù)家，京劇藝術(shù)大師梅蘭芳先生，某電視臺(tái)《我愛(ài)京劇》的一期比賽中，2位“梅派”傳人和4位京劇票友（資深業(yè)余愛(ài)好者）在幕后登臺(tái)演唱同一曲目《貴妃醉酒》選段，假設(shè)6位演員的演唱水平相當(dāng)，由現(xiàn)場(chǎng)40位大眾評(píng)委和“梅派”傳人的朋友猜測(cè)哪兩位是真正的“梅派”傳人.

（1）此欄目編導(dǎo)對(duì)本期的40位大眾評(píng)委的年齡和對(duì)京劇知識(shí)的了解進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查得到的數(shù)據(jù)如下：

京劇票友

一般愛(ài)好者

合計(jì)

50歲以上

15

10

25

50歲以下

3

12

15

合計(jì)

18

22

40

試問(wèn)：在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)多少的前提下，可以認(rèn)為年齡的大小與對(duì)京劇知識(shí)的了解有關(guān)系？

（2）若在一輪中演唱中，每猜出一位亮相一位，且規(guī)定猜出2位“梅派”傳人”或猜出5人后就終止，記本輪競(jìng)猜一共競(jìng)猜次，求隨機(jī)變量的分布列與期望.

參考數(shù)據(jù)：

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，左右兩頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，滿足直線的斜率之積為，且的最大值為4.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，連接點(diǎn)并延長(zhǎng)，交軌跡于一點(diǎn).求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】圖1是由正方形，直角梯形，三角形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2.

（1）證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面，且平面平面；

（2）求圖2中的點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知矩陣，，直線經(jīng)矩陣所對(duì)應(yīng)的變換得到直線，直線又經(jīng)矩陣所對(duì)應(yīng)的變換得到直線，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某保險(xiǎn)公司對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000，6000，2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付概率）：

已知三類工種職工每人每年保費(fèi)分別為25元、25元、40元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元、100萬(wàn)元、50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年10萬(wàn)元.

（1）求保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所或利潤(rùn)的期望值；

（2）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇：

方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠償付給意外職工，企業(yè)開展這項(xiàng)工作的固定支出為每年12萬(wàn)元；

方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的70%，職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的30%，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，企業(yè)無(wú)額外專項(xiàng)開支.

請(qǐng)根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)A（0，2），動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離比動(dòng)點(diǎn)M到直線y＝﹣1的距離大1，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程；

（2）Q為直線y＝﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q做曲線C的切線，切點(diǎn)分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值

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