Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，過分別作曲線與的切線，且與關(guān)于軸對稱，求證: .

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 見解析.

【解析】試題分析：(1) 求出，分五種情討論，分別令得增區(qū)間， 得減區(qū)間；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出兩切線的斜率分別為，根據(jù)切點(diǎn)處兩函數(shù)縱坐標(biāo)相等可得關(guān)于的兩個等式，由其中一個等式求得的范圍，再根據(jù)另一個等式利用導(dǎo)數(shù)求得的范圍.

試題解析：由已知得，所以.

(1) . ① 若，當(dāng)或時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；

單調(diào)遞減區(qū)間為. ②若，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為. ③ 若，當(dāng)或時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.④若，故的單調(diào)遞減區(qū)間為.⑤若，當(dāng)或時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增區(qū)間為 ；

單調(diào)遞減區(qū)間為,；

(2) ,設(shè)的方程為，切點(diǎn)為，則，所以.由題意知，所以的方程為，設(shè)與的切點(diǎn)為，則.

又,即，令，在定義域上， ，所以上， 是單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以，即，令，則，所以，故

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