【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當時,點在函數(shù)的圖象上運動,直線與函數(shù)的圖象不相交,求點到直線距離的最小值;

(Ⅱ)討論函數(shù)零點的個數(shù),并說明理由.

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

1)首先寫出函數(shù)的定義域,對函數(shù)求導,分析在什么情況下滿足距離最小,構造等量關系式,求解,得到對應的點的坐標,之后應用點到直線的距離公式進行求解即可;

2)對函數(shù)求導,分情況討論函數(shù)的單調(diào)性,依次得出函數(shù)零點的個數(shù).

(Ⅰ)的定義域為.

由題意,令,即.解得(舍去).

,∴到直線的距離為所求的最小值.

(Ⅱ)法一:

(1)當時,,上是增函數(shù).

.當時,

,又,∴,故恰有一個零點.

(2)當時,,得(舍去),所以沒有零點.

(3)當時,令,得(舍去).

時,,當時,.

上是減函數(shù),在上是增函數(shù),.

①當,即時,恰有1個零點.

②當,即時,沒有零點.

③當,即時,.

,則,.

,,

上單調(diào)遞增,∴,

,∴.

,,∴有2個零點.

綜上,函數(shù)時,有1個零點;當時,有2個零點;當時,沒有零點.

(Ⅱ)法二:若,則).

),.問題轉(zhuǎn)化為討論的圖象與直線交點的個數(shù).

).令.

時,;當時,.

,上是減函數(shù),在上是增函數(shù),.

.當時,.∴當時,直線與函數(shù)的圖象有1個交點;當,即時,有兩個交點;當時沒有交點.

所以函數(shù)時有1個零點;

時有2個零點;

時沒有零點.

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