Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，直線與函數(shù)的圖象不相交，求點(diǎn)到直線距離的最小值；

（Ⅱ）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）首先寫出函數(shù)的定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析在什么情況下滿足距離最小，構(gòu)造等量關(guān)系式，求解，得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，之后應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可；

（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分情況討論函數(shù)的單調(diào)性，依次得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>，.

由題意，令，即.解得或（舍去）.

∵，∴到直線的距離為所求的最小值.

（Ⅱ）法一：

（1）當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù).

∵.當(dāng)時(shí)，

∴，又，∴，故恰有一個(gè)零點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)，，得（舍去），所以沒(méi)有零點(diǎn).

（3）當(dāng)時(shí)，令，得或（舍去）.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，.

①當(dāng)，即時(shí)，恰有1個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)，即時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn).

③當(dāng)，即時(shí)，.

令，則，.

令，，

∴在上單調(diào)遞增，∴，

∴，∴.

∵，，∴有2個(gè)零點(diǎn).

綜上，函數(shù)當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn).

（Ⅱ）法二：若，則（且）.

設(shè)（且），.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論的圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（且）.令得.

當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴在，上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，.

又時(shí).當(dāng)時(shí)，.∴當(dāng)或即或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)沒(méi)有交點(diǎn).

所以函數(shù)當(dāng)或時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)沒(méi)有零點(diǎn).