Question

【題目】設a>0且a≠1，函數f(x)＝x2－(a＋1)x＋alnx.

(1)當a＝2時，求曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率；

(2)求函數f(x)的極值點．

Answer 1

【答案】(1).(2) 見解析.

【解析】試題分析：（1）由已知中函數 ，根據a=2，我們易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切線的斜率k=f′（3）．

（2）由已知我們易求出函數的導函數，令導函數值為0，我們則求出導函數的零點，根據m＞0，我們可將函數的定義域分成若干個區(qū)間，分別在每個區(qū)間上討論導函數的符號，即可得到函數函數f（x）的極值點．

試題解析：

(1)由已知得x>0.

當a＝2時，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，

所以曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率為.

(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋

＝＝.

由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.

①當0<a<1時，

當x∈(0，a)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增；

當x∈(a,1)時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減；

當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增．

此時x＝a時f(x)的極大值點，x＝1是f(x)的極小值點．

②當a>1時，

當x∈(0,1)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增；

當x∈(1，a)時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減；

當x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增．

此時x＝1是f(x)的極大值點，x＝a是f(x)的極小值點．

綜上，當0<a<1時，x＝a是f(x)的極大值點，x＝1是f(x)的極小值點；

當a>1時，x＝1是f(x)的極大值點，x＝a是f(x)的極小值點．