已知圓C:的半徑等于橢圓E:(a>b>0)的短半軸長,橢圓E的右焦點F在圓C內(nèi),且到直線l:y=x-的距離為,點M是直線l與圓C的公共點,設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2).

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)求證:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.

(Ⅰ);(Ⅱ)先把表示出來,得,同理,從而命題得證.

解析試題分析:(Ⅰ)先利用到直線的距離得,求出,再求出,從而得橢圓方程為;(Ⅱ)先利用為直角三角形,求出,又,可得,同理得,所以,同理可得,繼而得到.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)點,則到直線的距離為,即
,                 (2分)
因為在圓內(nèi),所以,故;                 (4分)
因為圓的半徑等于橢圓的短半軸長,所以,橢圓方程為.      (6分)
(Ⅱ)因為圓心到直線的距離為,所以直線與圓相切,是切點,故為直角三角形,所以,
,可得,                    (7分)
,又,可得,        (9分)
所以,同理可得,            (11分)
所以,即.      (12分)
考點:直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應用.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系中,、分別是橢圓的頂點,過坐標原點的直線交橢圓于、兩點,其中在第一象限.過軸的垂線,垂足為.連接,并延長交橢圓于點.設(shè)直線的斜率為

(Ⅰ)當直線平分線段時,求的值;
(Ⅱ)當時,求點到直線的距離;
(Ⅲ)對任意,求證:

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知為拋物線的焦點,拋物線上點滿足

(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)點的坐標為(,),過點F作斜率為的直線與拋物線交于兩點,兩點的橫坐標均不為,連結(jié)、并延長交拋物線于、兩點,設(shè)直線的斜率為,問是否為定值,若是求出該定值,若不是說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,設(shè)AB,CD為⊙O的兩直徑,過B作PB垂直于AB,并與CD延長線相交于點P,過P作直線與⊙O分別交于E,F(xiàn)兩點,連結(jié)AE,AF分別與CD交于G、H

(Ⅰ)設(shè)EF中點為,求證:O、、B、P四點共圓
(Ⅱ)求證:OG =OH.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標系中,經(jīng)過點的動直線,與橢圓)相交于,兩點. 當軸時,,當軸時,
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若的中點為,且,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線上,A,C關(guān)于軸對稱,BD平行于拋物線在點C處的切線。
(Ⅰ)證明:AC平分;
(Ⅱ)若點A坐標為,四邊形ABCD的面積為4,求直線BD的方程。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

經(jīng)過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為.點、在軌跡上,且關(guān)于軸對稱,過線段(兩端點除外)上的任意一點作直線,使直線與軌跡在點處的切線平行,設(shè)直線與軌跡交于點
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點到直線的距離等于,且△的面積為20,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,橢圓的左頂點為是橢圓上異于點的任意一點,點與點關(guān)于點對稱.
(Ⅰ)若點的坐標為,求的值;
(Ⅱ)若橢圓上存在點,使得,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標系xOy中,曲線y=x-6x+1與坐標軸的交點都在圓C上.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)試判斷是否存在斜率為1的直線,使其與圓C交于A, B兩點,且OA⊥OB,若存在,求出該直線方程,若不存在,請說明理由.

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