如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,、分別是橢圓的頂點,過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于兩點,其中在第一象限.過軸的垂線,垂足為.連接,并延長交橢圓于點.設(shè)直線的斜率為

(Ⅰ)當(dāng)直線平分線段時,求的值;
(Ⅱ)當(dāng)時,求點到直線的距離;
(Ⅲ)對任意,求證:

(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)詳見解析

解析試題分析:(Ⅰ)求出點、的中點坐標(biāo),再用斜率公式可求得的值;(Ⅱ)求出直線的方程,再用點到直線的距離公式可求得點到直線的距離;
(Ⅲ)思路一:圓錐曲線題型的一個基本處理方法是設(shè)而不求,其核心是利用 ----(*).要證明,只需證明它們的斜率之積為-1. 但直接求它們的積,不好用(*)式,此時需要考慮轉(zhuǎn)化.
思路二:設(shè),然后用表示出的坐標(biāo).這種方法要注意直線的方程應(yīng)設(shè)為: ,若用點斜式,則運算量大為增加.
此類題極易在運算上出錯,需倍加小心.
試題解析:(Ⅰ)由題設(shè)知: ,所以線段的中點為,
由于直線平分線段,故直線過線段的中點,又直線過坐標(biāo)原點,
所以
(Ⅱ)將直線的方程代入橢圓方程得: ,因此
于是,由此得直線的方程為:
所以點到直線的距離
(Ⅲ)法一:設(shè),則
由題意得:
設(shè)直線的斜率分別為,因為在直線上,所以
從而,所以:

法二:
所以直線的方程為:  代入橢圓方程得:

由韋達定理得:
所以
,所以
考點:本題考查橢圓的方程、直線的方程,中點坐標(biāo)公式,點到直線的距離,兩直線垂直的判定;考查韋達定理.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖已知拋物線的焦點坐標(biāo)為,過的直線交拋物線兩點,直線分別與直線相交于兩點.

(1)求拋物線的方程;
(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值.

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已知是橢圓的右焦點,圓軸交于兩點,是橢圓與圓的一個交點,且 
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)過點與圓相切的直線的另一交點為,且的面積為,求橢圓的方程

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已知橢圓的離心率為,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點C(-1,0)且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點,試問在軸上是否存在點,使是與無關(guān)的常數(shù)?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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已知橢圓)右頂點到右焦點的距離為,短軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過左焦點的直線與橢圓分別交于、兩點,若線段的長為,求直線的方程.

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已知點是橢圓上一點,分別為的左右焦點,,的面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè),過點作直線,交橢圓異于兩點,直線的斜率分別為,證明:為定值.

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已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,右準(zhǔn)線為,離心率為.若直線與橢圓交于不同的兩點、,以線段為直徑作圓.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若圓軸相切,求圓被直線截得的線段長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線上任意一點到點的距離與到直線的距離相等.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè),軸上的兩點,過點分別作軸的垂線,與曲線分別交于點,直線與x軸交于點,這樣就稱確定了.同樣,可由確定了.現(xiàn)已知,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知圓C:的半徑等于橢圓E:(a>b>0)的短半軸長,橢圓E的右焦點F在圓C內(nèi),且到直線l:y=x-的距離為,點M是直線l與圓C的公共點,設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2).

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)求證:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.

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