經(jīng)過點(diǎn)且與直線
相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為
.點(diǎn)
、
在軌跡
上,且關(guān)于
軸對稱,過線段
(兩端點(diǎn)除外)上的任意一點(diǎn)作直線
,使直線
與軌跡
在點(diǎn)
處的切線平行,設(shè)直線
與軌跡
交于點(diǎn)
、
.
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點(diǎn)到直線
的距離等于
,且△
的面積為20,求直線
的方程.
(1);(2)詳見解析;(3)
.
解析試題分析:(1)方法1是利用直接法,設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為,根據(jù)題中條件列式并化簡進(jìn)而求出動(dòng)點(diǎn)
的軌跡方程;方法2是將問題轉(zhuǎn)化為圓心
到定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)
到定直線的距離,利用拋物線的定義寫出軌跡
的方程;(2)由于
軸,利用直線
與直線
的斜率互為相反數(shù)證明
;(3)方法1是先將
的方程與拋物線的方程聯(lián)立求出點(diǎn)
的坐標(biāo),并根據(jù)一些幾何性質(zhì)求出
、
,并將
的面積用點(diǎn)
的坐標(biāo)表示以便于求出點(diǎn)
的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)
的坐標(biāo)求出直線
的方程;方法2是利用(2)中的條件與結(jié)論,利用直線
確定點(diǎn)
和點(diǎn)
坐標(biāo)之間的關(guān)系,借助弦長公式求出
、
,并將
的面積用點(diǎn)
的坐標(biāo)表示以便于求出點(diǎn)
的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)
的坐標(biāo)求出直線
的方程.
試題解析:(1)方法1:設(shè)動(dòng)圓圓心為,依題意得,
. 1分
整理,得.所以軌跡
的方程為
. 2分
方法2:設(shè)動(dòng)圓圓心為,依題意得點(diǎn)
到定點(diǎn)
的距離和點(diǎn)
到定直線
的距離相等,
根據(jù)拋物線的定義可知,動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線. 1分
且其中定點(diǎn)為焦點(diǎn),定直線
為準(zhǔn)線.
所以動(dòng)圓圓心的軌跡
的方程為
. 2分
(2)由(1)得,即
,則
.
設(shè)點(diǎn),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,直線
的斜率為
. 3分
由題意知點(diǎn).設(shè)點(diǎn)
,
,
則,
即. 4分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b9/9/1wie34.png" style="vertical-align:middle;" />,. 5分
由于,即
. 6分
所以. 7分
(3)方法1:由點(diǎn)到
的距離等于
,可知
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),右準(zhǔn)線為
,離心率為
.若直線
與橢圓
交于不同的兩點(diǎn)
、
,以線段
為直徑作圓
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若圓與
軸相切,求圓
被直線
截得的線段長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知,曲線
上任意一點(diǎn)
分別與點(diǎn)
、
連線的斜率的乘積為
.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與
軸、
軸分別交于
、
兩點(diǎn),若曲線
與直線
沒有公共點(diǎn),求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓C:的半徑等于橢圓E:
(a>b>0)的短半軸長,橢圓E的右焦點(diǎn)F在圓C內(nèi),且到直線l:y=x-
的距離為
-
,點(diǎn)M是直線l與圓C的公共點(diǎn),設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)求證:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點(diǎn)為
,點(diǎn)
是拋物線上的一點(diǎn),且其縱坐標(biāo)為4,
.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ) 設(shè)點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn),
的角平分線與
軸垂直,求
的面積最大時(shí)直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
給定橢圓:
,稱圓心在原點(diǎn)
,半徑為
的圓是橢圓
的“準(zhǔn)圓”.若橢圓
的一個(gè)焦點(diǎn)為
,且其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到
的距離為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(Ⅱ)點(diǎn)是橢圓
的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過動(dòng)點(diǎn)
作直線
,使得
與橢圓
都只有一個(gè)交點(diǎn),試判斷
是否垂直,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線與雙曲線
有公共焦點(diǎn)
,點(diǎn)
是曲線
在第一象限的交點(diǎn),且
.
(1)求雙曲線的方程;
(2)以雙曲線的另一焦點(diǎn)
為圓心的圓
與直線
相切,圓
:
.過點(diǎn)
作互相垂直且分別與圓
、圓
相交的直線
和
,設(shè)
被圓
截得的弦長為
,
被圓
截得的弦長為
,問:
是否為定值?如果是,請求出這個(gè)定值;如果不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知A、B、C是橢圓W:上的三個(gè)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(I)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積;
(II)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
定義:設(shè)分別為曲線
和
上的點(diǎn),把
兩點(diǎn)距離的最小值稱為曲線
到
的距離.
(1)求曲線到直線
的距離;
(2)已知曲線到直線
的距離為
,求實(shí)數(shù)
的值;
(3)求圓到曲線
的距離.
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