在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)的動直線,與橢圓:()相交于,兩點(diǎn). 當(dāng)軸時,,當(dāng)軸時,.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若的中點(diǎn)為,且,求直線的方程.
(Ⅰ);(Ⅱ)或.
解析試題分析:(Ⅰ)利用已知條件確定、的值,進(jìn)而求出橢圓的方程;(Ⅱ)解法一是逆用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個性質(zhì),由得到為直角三角形,且為斜邊,于是得到,借助韋達(dá)定理與向量的有關(guān)知識確定直線的方程;解法二是直接設(shè)直線的方程,直接從問題中的等式出發(fā),借助韋達(dá)定理與弦長公式確定直線的方程.
試題解析:解法一:(Ⅰ)當(dāng)軸時,,
當(dāng)軸時,,得,
解得,.
所以橢圓的方程為:. 5分
(Ⅱ)設(shè)直線,與方程聯(lián)立,得.
設(shè),,則, .①
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/11/a/jafmo1.png" style="vertical-align:middle;" />,即,
所以,即, 8分
所以,則,
將①式代入并整理得:,解出,
此時直線的方程為:,即,. 12分
解法二:(Ⅰ)同解法一 5分
(Ⅱ)設(shè)直線:,與聯(lián)立,得.(﹡)
設(shè),,則,.
從而
. 8分
設(shè),則,.
由得:,
整理得,即,
即,解得,從而.
故所求直線的方程為:,
即和. 12分
考點(diǎn):橢圓的方程、韋達(dá)定理、弦長公式
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓()右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為,短軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過左焦點(diǎn)的直線與橢圓分別交于、兩點(diǎn),若線段的長為,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上,且異于點(diǎn),直線與直線分別交于點(diǎn),
(Ⅰ)設(shè)直線的斜率分別為,求證:為定值;
(Ⅱ)求線段的長的最小值;
(Ⅲ)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時,以為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)?請證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知,曲線上任意一點(diǎn)分別與點(diǎn)、連線的斜率的乘積為.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn),若曲線與直線沒有公共點(diǎn),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
極坐標(biāo)系中橢圓C的方程為
以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸非負(fù)半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,且兩坐標(biāo)系取相同的單位長度.
(Ⅰ)求該橢圓的直角標(biāo)方程;若橢圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為,求的取值范圍;
(Ⅱ)若橢圓的兩條弦交于點(diǎn),且直線與的傾斜角互補(bǔ),
求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓C:的半徑等于橢圓E:(a>b>0)的短半軸長,橢圓E的右焦點(diǎn)F在圓C內(nèi),且到直線l:y=x-的距離為-,點(diǎn)M是直線l與圓C的公共點(diǎn),設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)求證:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn),且其縱坐標(biāo)為4,.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ) 設(shè)點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn),的角平分線與軸垂直,求的面積最大時直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn),點(diǎn)是曲線在第一象限的交點(diǎn),且.
(1)求雙曲線的方程;
(2)以雙曲線的另一焦點(diǎn)為圓心的圓與直線相切,圓:.過點(diǎn)作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和,設(shè)被圓截得的弦長為,被圓截得的弦長為,問:是否為定值?如果是,請求出這個定值;如果不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,點(diǎn)是橢圓()的左焦點(diǎn),點(diǎn),分別是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),橢圓的離心率為,點(diǎn)在軸上,且,過點(diǎn)作斜率為的直線與由三點(diǎn),,確定的圓相交于,兩點(diǎn),滿足.
(1)若的面積為,求橢圓的方程;
(2)直線的斜率是否為定值?證明你的結(jié)論.
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