在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點
的動直線
,與橢圓
:
(
)相交于
,
兩點. 當(dāng)
軸時,
,當(dāng)
軸時,
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若的中點為
,且
,求直線
的方程.
(Ⅰ);(Ⅱ)
或
.
解析試題分析:(Ⅰ)利用已知條件確定、
的值,進而求出橢圓
的方程;(Ⅱ)解法一是逆用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個性質(zhì),由
得到
為直角三角形,且
為斜邊,于是得到
,借助韋達定理與向量的有關(guān)知識確定直線的方程;解法二是直接設(shè)直線的方程,直接從問題中的等式出發(fā),借助韋達定理與弦長公式確定直線
的方程.
試題解析:解法一:(Ⅰ)當(dāng)軸時,
,
當(dāng)軸時,
,得
,
解得,
.
所以橢圓的方程為:
. 5分
(Ⅱ)設(shè)直線,與方程
聯(lián)立,得
.
設(shè),
,則
,
.①
因為,即
,
所以,即
, 8分
所以,則
,
將①式代入并整理得:,解出
,
此時直線的方程為:
,即
,
. 12分
解法二:(Ⅰ)同解法一 5分
(Ⅱ)設(shè)直線:
,與
聯(lián)立,得
.(﹡)
設(shè),
,則
,
.
從而. 8分
設(shè),則
,
.
由得:
,
整理得,即
,
即,解得
,從而
.
故所求直線的方程為:
,
即和
. 12分
考點:橢圓的方程、韋達定理、弦長公式
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓(
)右頂點到右焦點的距離為
,短軸長為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過左焦點的直線與橢圓分別交于
、
兩點,若線段
的長為
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓的上、下頂點分別為
,點
在橢圓上,且異于點
,直線
與直線
分別交于點
,
(Ⅰ)設(shè)直線的斜率分別為
,求證:
為定值;
(Ⅱ)求線段的長的最小值;
(Ⅲ)當(dāng)點運動時,以
為直徑的圓是否經(jīng)過某定點?請證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知,曲線
上任意一點
分別與點
、
連線的斜率的乘積為
.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與
軸、
軸分別交于
、
兩點,若曲線
與直線
沒有公共點,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
極坐標(biāo)系中橢圓C的方程為
以極點為原點,極軸為軸非負半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,且兩坐標(biāo)系取相同的單位長度.
(Ⅰ)求該橢圓的直角標(biāo)方程;若橢圓上任一點坐標(biāo)為,求
的取值范圍;
(Ⅱ)若橢圓的兩條弦交于點
,且直線
與
的傾斜角互補,
求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓C:的半徑等于橢圓E:
(a>b>0)的短半軸長,橢圓E的右焦點F在圓C內(nèi),且到直線l:y=x-
的距離為
-
,點M是直線l與圓C的公共點,設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)求證:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點為
,點
是拋物線上的一點,且其縱坐標(biāo)為4,
.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ) 設(shè)點是拋物線上的兩點,
的角平分線與
軸垂直,求
的面積最大時直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線與雙曲線
有公共焦點
,點
是曲線
在第一象限的交點,且
.
(1)求雙曲線的方程;
(2)以雙曲線的另一焦點
為圓心的圓
與直線
相切,圓
:
.過點
作互相垂直且分別與圓
、圓
相交的直線
和
,設(shè)
被圓
截得的弦長為
,
被圓
截得的弦長為
,問:
是否為定值?如果是,請求出這個定值;如果不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,點是橢圓
(
)的左焦點,點
,
分別是橢圓的左頂點和上頂點,橢圓的離心率為
,點
在
軸上,且
,過點
作斜率為
的直線
與由三點
,
,
確定的圓
相交于
,
兩點,滿足
.
(1)若的面積為
,求橢圓的方程;
(2)直線的斜率是否為定值?證明你的結(jié)論.
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