Question

15．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓上一點(diǎn)，且|PF₂|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|PF₁|，則∠PF₁F₂的最大值為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用橢圓的定義，結(jié)合條件可得|PF₁|=4（2-$\sqrt{3}$）a，|PF₂|=2$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{3}$）a，在△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，運(yùn)用余弦定理和基本不等式，即可得到最大值．

解答 解：由橢圓的定義可得|PF₂|+|PF₁|=2a，
又|PF₂|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|PF₁|，
可得|PF₁|=4（2-$\sqrt{3}$）a，|PF₂|=2$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{3}$）a，
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，
cos∠PF₁F₂=$\frac{4{c}^{2}+16（7-4\sqrt{3}）{a}^{2}-12（7-4\sqrt{3}）{a}^{2}}{4c•4（2-\sqrt{3}）a}$
=$\frac{c}{4（2-\sqrt{3}）a}$+$\frac{（2-\sqrt{3}）a}{4c}$≥2•$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)c=（2-$\sqrt{3}$）a時(shí)取得等號(hào)，
則∠PF₁F₂的最大值為$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，同時(shí)考查余弦定理和基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．